[論文レビュー] Hamilton-Jacobi Theorems for Regular Controlled Hamiltonian System and Its Reductions

Yuesheng Wang|arXiv (Cornell University)|May 15, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、正則制御ハミルトニアン（RCH）系およびその対称的還元について、正則および還元されたシンプレクティック形式を用いて、タイプIおよびタイプIIのハミルトン＝ジャコビ定理を確立する。幾何学的ハミルトン＝ジャコビ理論をRCH系および制御磁気的ハミルトニアン系へ一般化し、RCH同値性のもとでの解の不変性を証明し、SO(3)およびSE(3)の一般化された空間における還元された剛体および重いトップ系への応用を示す。

ABSTRACT

In this paper, we give precisely the geometric constraint conditions of canonical symplectic form and regular reduced symplectic forms for the dynamical vector fields of a regular controlled Hamiltonian (RCH) system and its regular reduced systems, which are called the Type I and Type II of Hamilton-Jacobi equations. At first, we first prove two types of Hamilton-Jacobi theorem for an RCH system on cotangent bundle of a configuration manifold, by using the canonical symplectic form and the dynamical vector field, which are the development of the two types of geometric version of Hamilton-Jacobi theorem for a Hamiltonian system given in Wang \cite{wa17}. Moreover, we also prove two types of Hamilton-Jacobi theorem for a controlled magnetic Hamiltonian (CMH) system by using the magnetic symplectic form and the magnetic Hamiltonian vector field. Secondly, we generalize the above results for a regular reducible RCH system with symmetry and momentum map, and prove two types of Hamilton-Jacobi theorems for the regular point reduced RCH system and the regular orbit reduced RCH system. Thirdly, we prove that the RCH-equivalence for the RCH system, and RpCH-equivalence and RoCH- equivalence for the regular reducible RCH systems with symmetries, leave the solutions of corresponding Hamilton-Jacobi equations invariant. Finally, as an application of the theoretical results, we show the Type I and Type II of Hamilton-Jacobi equations for the $R_p$-reduced controlled rigid body-rotor system and the $R_p$-reduced controlled heavy top-rotor system on the generalizations of rotation group SO(3) and Euclidean group SE(3), respectively. These researches reveal the deeply internal relationships of the geometrical structures of phase spaces, the dynamical vector fields and controls of the RCH system.

研究の動機と目的

• 正則制御ハミルトニアン（RCH）系における正則および還元されたシンプレクティック形式の幾何的制約条件を導出すること。
• 動的ベクトル場とシンプレクティック構造を用いて、余接 bundle 上のRCH系におけるハミルトン＝ジャコビ理論を一般化すること。
• 磁気的シンプレクティック形式とハミルトニアンベクトル場を用いて、制御磁気的ハミルトニアン（CMH）系へ理論を拡張すること。
• 運動量写像を伴う対称性とそのもとでの正則点還元および軌道還元RCH系に対するハミルトン＝ジャコビ定理を確立すること。
• RCH同値性およびその対称的類型（RpCH同値性およびRoCH同値性）のもとで、ハミルトン＝ジャコビ解が不変であることを示すこと。

提案手法

• 配置多様体の余接 bundle 上の正則シンプレクティック形式と動的ベクトル場を用いて、タイプIおよびタイプIIのハミルトン＝ジャコビ方程式を定式化すること。
• シンプレクティック幾何学の幾何的枠組みを用いて、動的ベクトル場が閉1次形式の像に接する条件を導出すること。
• 磁気的シンプレクティック形式と磁気的ハミルトニアンベクトル場を組み込むことで、CMH系へのアプローチを拡張すること。
• 運動量写像による対称性還元を用いて、正則点還元および軌道還元RCH系を構成すること。
• RCH同値性、RpCH同値性、およびRoCH同値性が、対応するハミルトン＝ジャコビ方程式の解を保存することを証明すること。
• 理論的結果を具体的な系に応用：一般化されたSO(3)およびSE(3)上のR_p-還元制御剛体-ローター系および重いトップ-ローター系。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RCH系において、正則シンプレクティック形式と動的ベクトル場がハミルトン＝ジャコビ方程式を満たすための幾何的制約条件は何か？
• RQ2 タイプIおよびタイプIIのハミルトン＝ジャコビ定理は、どのように制御磁気的ハミルトニアン系へ一般化できるか？
• RQ3 RCH同値性およびその対称的類型（RpCHおよびRoCH同値性）のもとで、ハミルトン＝ジャコビ方程式の解が不変となる条件は何か？
• RQ4 対称的RCH系における正則点還元および軌道還元の下で、シンプレクティック構造と動的ベクトル場はどのように変換されるか？
• RQ5 R_p-還元制御剛体-ローター系および重いトップ-ローター系のハミルトン＝ジャコビ方程式の明示的形は何か？

主な発見

• 本稿は、正則シンプレクティック形式と動的ベクトル場を用いて、余接 bundle 上のRCH系に対して2種類のハミルトン＝ジャコビ定理を確立する。
• 磁気的シンプレクティック形式と磁気的ハミルトニアンベクトル場を導入することで、理論を制御磁気的ハミルトニアン系へ一般化する。
• 著者らは、対称的RCH系において、RCH同値性、RpCH同値性、およびRoCH同値性のもとで、ハミルトン＝ジャコビ方程式の解が不変であることを証明する。
• 一般化された回転群上のR_p-還元制御剛体-ローター系に対して、タイプIおよびタイプIIのハミルトン＝ジャコビ方程式を明示的に導出する。
• 一般化されたユークリッド群SE(3)上のR_p-還元制御重いトップ-ローター系が、提示された枠組みのもとでハミルトン＝ジャコビ方程式を満たすことが示される。
• 結果は、RCH系における位相空間構造、動的ベクトル場、制御入力の間の深い幾何的関係を明らかにする。