[论文解读] Hamilton Paths and Cycles in Vertex-Transitive Graphs of Order $6p$

Klavdija Kutnar, Primož Šparl|ArXiv.org|Feb 7, 2007

graph theory and CDMA systems参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文证明了每个阶为 $6p$ 的连通顶点传递图（其中 $p$ 为素数）都包含一条哈密顿路径。此外，除了彼得森图的截断图外，所有非真正不可约的此类图均包含一条哈密顿圈，推进了对顶点传递图中哈密顿性的理解，并支持了仅存在有限多个此类图不包含哈密顿圈的猜想。

ABSTRACT

It is shown that every connected vertex-transitive graph of order $6p$, where $p$ is a prime, contains a Hamilton path. Moreover, it is shown that, except for the truncation of the Petersen graph, every connected vertex-transitive graph of order $6p$ which is not genuinely imprimitive contains a Hamilton cycle.

研究动机与目标

• 建立所有阶为 $6p$ 的连通顶点传递图中哈密顿路径存在的证明，其中 $p$ 为素数。
• 确定哪些此类图包含哈密顿圈，特别是识别出例外情况。
• 为更广泛的猜想作出贡献：仅存在有限多个连通顶点传递图不包含哈密顿圈。
• 扩展此前关于阶为 $kp$（$k \leq 5$）和 $p^j$（$j \leq 4$）的顶点传递图中哈密顿性的研究成果。
• 基于其自同构群结构——真正不可约、拟本原或本原——对图进行分类与分析，采用群论方法。

提出的方法

• 根据自同构群的结构，将阶为 $6p$ 的顶点传递图分为三类：真正不可约、拟本原和本原。
• 使用群论工具，包括不可约块系统与轨道分析，研究在传递群作用下的图的结构。
• 应用已知的关于凯莱图和具有循环交换子群的图中哈密顿性的结果，以支持分析。
• 利用先前文献中对阶为 $6p$ 的本图形的分类（例如，[18, 33]）来验证这些情况下的哈密顿圈存在性。
• 在 $S_{12}$ 中利用 $(6,11)$-半正则自同构来分析阶为 66 的图的结构，通过引理 2.5 确认其哈密顿性。
• 使用命题 2.6 建立高最小度条件，从而在稠密图中推出哈密顿圈的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有阶为 $6p$ 的连通顶点传递图是否都包含一条哈密顿路径？
• RQ2 哪些阶为 $6p$ 的连通顶点传递图不包含哈密顿圈，其特征是什么？
• RQ3 能否通过群作用分类的方法建立阶为 $6p$ 的本原顶点传递图的哈密顿性？
• RQ4 自同构群的结构特性——特别是本原性、拟本原性或真正不可约性——如何影响哈密顿性？
• RQ5 彼得森图的截断图是否是非真正不可约顶点传递图中阶为 $6p$ 的图里唯一不具哈密顿性的例外？

主要发现

• 每个阶为 $6p$ 的连通顶点传递图（其中 $p$ 为素数）都包含一条哈密顿路径。
• 除了彼得森图的截断图外，所有阶为 $6p$ 的连通顶点传递图中，非真正不可约的图都包含一条哈密顿圈。
• 所有阶为 $6p$ 的本原顶点传递图都包含一条哈密顿圈，该结论通过分类和其自同构群作用的已知结果得到验证。
• 表 10 中列出的图（例如，PSL(2,17) 在 $S_4$ 的陪集上的作用、$S_{12}$ 在二元组上的作用、PSL(3,5) 在 $P_{1,2}$ 的陪集上的作用）全部具有哈密顿圈。
• 由 $S_{12}$ 在二元组上作用生成的阶为 66 的图，其最小度至少为 45，且存在一个 $(6,11)$-半正则自同构，因此根据引理 2.5 可推出其存在哈密顿圈。
• 对真正不可约图的分析依赖于块大小与轨道结构，引理 (3.1–3.7) 提供了在不同群作用下哈密顿路径或哈密顿圈存在的条件。