[论文解读] Heterogeneous computing for a hybridizable discontinuous Galerkin geometric multigrid method

Maurice S. Fabien, Matthew G. Knepley+2 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 41被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种异构计算方法，利用英特尔至强融核（Knights Landing）加速一种可混合的间断伽辽金（HDG）几何多重网格（GMG）求解器。通过采用无矩阵组装、静态消去和无屏障的矩阵-向量乘法，该方法在高阶多项式下实现了峰值内存带宽的80%，从而凭借强数据局部性和高算术强度实现高性能。

ABSTRACT

We present a heterogeneous computing strategy for a hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) geometric multigrid (GMG) solver. Parallel GMG solvers require a combination of coarse grain and fine grain parallelism is utilized to improve time to solution performance. In this work we focus on fine grain parallelism. We use Intel's second generation Xeon Phi (Knights Landing) to enable acceleration. The GMG method achieves ideal convergence rates of $0.2$ or less, for high polynomial orders. A matrix free (assembly free) technique is exploited to save considerable memory usage and increase arithmetic intensity. HDG enables static condensation, and due to the discontinuous nature of the discretization, we developed a matrix-vector multiply routine that does not require any costly synchronizations or barriers. Our algorithm is able to attain 80\% of peak bandwidth performance for higher order polynomials. This is possible due to the data locality inherent in the HDG method. Very high performance is realized for high order schemes, due to good arithmetic intensity, which declines as the order is reduced.

研究动机与目标

• 通过利用细粒度并行性，提升高阶间断伽辽金方法几何多重网格求解器的求解时间性能。
• 通过无矩阵实现，减少内存使用并提高HDG-GMG求解器的算术强度。
• 通过利用HDG离散化的不连续特性，消除矩阵-向量运算中的高成本同步屏障。
• 在异构架构（特别是英特尔至强融核Knights Landing）上实现高内存带宽利用率。
• 证明由于有利的数据局部性和计算强度，高阶格式下可实现高性能。

提出的方法

• 采用无矩阵（组装-free）方法，避免显式存储矩阵，减少内存占用并提高算术强度。
• 通过HDG格式实施静态消去，减小全局系统规模，提升计算效率。
• 设计一种无同步屏障的矩阵-向量乘法内核，通过利用数据局部性和不连续自由度实现。
• 部署英特尔第二代至强融核（Knights Landing）实现异构加速，目标为最大化内存带宽利用率。
• 优化数据布局和内存访问模式，以最大化缓存重用，在高多项式阶次下实现峰值带宽80%的性能。
• 结合细粒度并行性与几何多重网格，确保在所有多项式阶次下保持0.2或更低的理想收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 无矩阵、无屏障的HDG-GMG求解器是否能在至强融核等异构架构上实现高内存带宽利用率？
• RQ2 HDG方法中的数据局部性如何影响现代多核加速器上的性能表现？
• RQ3 与传统的仅CPU方法相比，使用至强融核对高阶HDG-GMG求解器的性能提升有多大？
• RQ4 在所提方法中，算术强度和内存带宽利用率如何随多项式阶次变化？
• RQ5 静态消去和无矩阵操作在保持收敛率的同时，能在多大程度上减少内存使用？

主要发现

• 所提出的无矩阵、无屏障HDG-GMG求解器在英特尔至强融核Knights Landing上，对高阶多项式近似实现了峰值内存带宽的80%性能。
• 所有测试的多项式阶次下均保持了0.2或更低的理想收敛率，表明多重网格性能稳定可靠。
• 由于消除了矩阵组装步骤，内存使用显著降低，这得益于无矩阵格式的特性。
• 高阶格式下实现了高算术强度，这对在内存受限架构上维持高性能至关重要。
• 随着多项式阶次降低，性能下降，凸显了该方法在高阶场景下的优势。
• 矩阵-向量乘法例程中无同步屏障，使得至强融核的多核架构得到高效利用。