[논문 리뷰] Hitting minors on bounded treewidth graphs

Julien Baste, Ignasi Sau외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 24.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 44인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 트리너비가 유계인 그래프에서 ${\cal F}$-M-Deletion 문제의 날카운 파arameterized 복잡도 경계를 확립한다. 일반적으로는 실행 시간이 $2^{2^{O(tw\log tw)}}$이며, ${\cal F}$에 속한 모든 그래프가 연결이면서 적어도 하나가 평면일 경우 $2^{O(tw\log tw)}$로 감소하고, 입력 그래프가 평면이거나 표면에 매bed된 경우 $2^{O(tw)}$로 더 감소한다. 단일 그래프 가족 $\{H\}$의 경우, $H$가 배너 그래프의 마이너(단, $P_5$ 제외)이면 $2^{\Theta(tw)}$이고, 그렇지 않으면 $2^{\Theta(tw\log tw)}$인 날카운 이분화를 제공한다. 모든 하한은 ETH 하에 유효하다.

ABSTRACT

For a fixed collection of graphs ${\cal F}$, the ${\cal F}$-M-Deletion problem consists in, given a graph $G$ and an integer $k$, decide whether there exists $S \subseteq V(G)$ with $|S| \leq k$ such that $G \setminus S$ does not contain any of the graphs in ${\cal F}$ as a minor. We are interested in its parameterized complexity when the parameter is the treewidth of $G$, denoted by $tw$. Our objective is to determine, for a fixed ${\cal F}$, the smallest function $f_{\cal F}$ such that ${\cal F}$-M-Deletion can be solved in time $f_{\cal F}(tw) \cdot n^{O(1)}$ on $n$-vertex graphs. We prove that $f_{\cal F}(tw)=2^{2^{O(tw\log tw)}}$ for every collection ${\cal F}$, that $f_{\cal F}(tw)=2^{O(tw\log tw)}$ if all the graphs in ${\cal F}$ are connected and at least one of them is planar, and that $f_{\cal F}(tw)=2^{O(tw)}$ if in addition the input graph $G$ is planar or embedded in a surface. When ${\cal F}$ contains a single connected planar graph $H$, we obtain a tight dichotomy about the asymptotic complexity of $\{H\}$-M-Deletion. Namely, we prove that $f_{\{H\}}(tw)=2^{\Theta(tw)}$ if $H$ is a minor of the banner (that is, the graph consisting of a $C_4$ plus a pendent edge) that is different from $P_5$, and that $f_{\{H\}}(tw)=2^{\Theta(tw\log tw)}$ otherwise. All the lower bounds hold under the ETH. We also consider the version of the problem where the graphs in ${\cal F}$ are forbidden as topological minors, and prove similar results, except that, in the algorithms, instead of requiring ${\cal F}$ to contain a planar graph, we need it to contain a subcubic planar graph. We also prove that, for this problem, $f_{\{K_{1,i}\}}(tw)=2^{\Theta(tw)}$ for every $i \geq 1$, while for the minor version it holds that $f_{\{K_{1,i}\}}(tw)=2^{\Theta(tw\log tw)}$ for every $i \geq 4$.

연구 동기 및 목표

• 트리너비 $tw$에 대해 $n$-정점 그래프에서 ${\cal F}$-M-Deletion을 시간 $f_{\cal F}(tw) \cdot n^{O(1)}$ 내에 해결할 수 있는 최소 함수 $f_{\cal F}(tw)$를 결정하는 것.
• 특히 평면성과 연결성과의 관계에서 다양한 금지 마이너 클래스 ${\cal F}$의 파arameterized 복잡도를 특성화하는 것.
• ${\cal F} = \{H\}$인 경우, 단일 연결 평면 그래프 $H$에 대해 점근적 경계를 날카롭게 규명하고, $H$가 배너의 마이너(단, $P_5$ 제외)인지 여부에 따라 이분화를 식별하는 것.

제안 방법

• 트리 분해의 폭 $tw$에 기반한 동적 프로그래밍 기법을 개발하며, 마이너 닫힘 가족의 구조를 활용한다.
• 트리너비 이론과 마이너 배제 원리를 활용하여 동적 프로그래밍 테이블 내의 관련 상태 수를 경계한다.
• 기존의 어려운 문제들로의 축소를 통해 Exponential Time Hypothesis (ETH)를 적용하여 하한을 확립한다.
• 특히 배너 그래프와 그 마이너에 초점을 맞춘 금지 마이너의 구조적 분석을 도입하여 날카운 복잡도 임계값을 도출한다.
• 마이너 포함과 위상 마이너 포함을 구분하여 알고리즘 기법을 적절히 조정한다.
• 위상 마이너의 경우, 삼차 평면 그래프와 일반 평면 그래프를 분리하여 더 강력한 구조적 가정이 필요하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 트리너비 $tw$에 대해 파arameterized된 ${\cal F}$-M-Deletion 문제의 정확한 파arameterized 시간 복잡도는 무엇인가? $tw$에 대해.
• RQ2 모든 ${\cal F}$에 속한 그래프가 연결되어 있고 적어도 하나가 평면일 경우 복잡도는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 단일 연결 평면 그래프 $H$에 대해 $\{H\}$-M-Deletion의 정확한 복잡도 임계값은 무엇이며, $H$가 배너의 마이너(단, $P_5$ 제외)인지 여부에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 파arameterized 설정에서 마이너 포함과 위상 마이너 포함 간의 복잡도는 어떻게 다를까?
• RQ5 평면성과 표면 매립이 트리너비에 대한 지수적 의존성 감소에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 임의의 고정된 ${\cal F}$에 대해, $n$-정점 그래프에서 트리너비 $tw$를 가진 그래프에서 문제 ${\cal F}$-M-Deletion은 시간 $2^{2^{O(tw\log tw)}} \cdot n^{O(1)}$ 내에 해결할 수 있다.
• 모든 ${\cal F}$에 속한 그래프가 연결되어 있고 적어도 하나가 평면일 경우, 복잡도는 $2^{O(tw\log tw)} \cdot n^{O(1)}$로 감소한다.
• 입력 그래프가 평면이거나 표면에 매립되어 있을 경우, 복잡도는 추가로 $2^{O(tw)} \cdot n^{O(1)}$로 감소한다.
• 단일 연결 평면 그래프 $H$에 대해, $H$가 배너의 마이너이면서 $H \neq P_5$이면 $f_{\{H\}}(tw) = 2^{\Theta(tw)}$이고, 그렇지 않으면 $f_{\{H\}}(tw) = 2^{\Theta(tw\log tw)}$이다.
• 모든 하한은 Exponential Time Hypothesis (ETH) 하에 날카롭게 유지되어 상한의 최적성을 확인한다.
• 위상 마이너 제거의 경우, 모든 $i \geq 1$에 대해 $f_{\{K_{1,i}\}}(tw) = 2^{\Theta(tw)}$이지만, 마이너 제거의 경우 $i \geq 4$일 때 $f_{\{K_{1,i}\}}(tw) = 2^{\Theta(tw\log tw)}$이므로 두 변형 간에 상당한 차이가 있음을 보여준다.