[论文解读] Hodge cohomology on blow-ups along subvarieties

Sheng Rao, Song Yang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 6

一句话总结

该论文在任意特征的代数闭域上，为光滑射影概族上局部自由层的Hodge上同调建立了爆破公式，通过引入相对Hodge层来分析爆破下的上同调行为。关键结果是爆破上Hodge上同调的显式同构，该同构蕴含了在正特征下Hochschild–Kostant–Rosenberg谱序列E2退化性的爆破不变性。

ABSTRACT

We establish a blow-up formula for Hodge cohomology of locally free sheaves on smooth proper varieties over an algebraically closed field of positive characteristic. For this, we introduce a notion of relative Hodge sheaves and study their behavior under blow-ups along smooth centers. In particular, as an application, we study the blow-up invariance of the $E_2$-degeneracy of the Hochschild--Kostant--Rosenberg spectral sequence for smooth proper varieties.

研究动机与目标

• 研究在正特征下，扭曲Hodge–de Rham谱序列的E1退化性在爆破下的不变性。
• 通过引入相对Hodge层，解决正特征下Dolbeault解析的缺失问题。
• 在任意特征的代数闭域上，为光滑射影概族上局部自由层的Hodge上同调建立爆破公式。
• 将该公式应用于研究爆破下Hochschild–Kostant–Rosenberg谱序列的E2退化性。
• 确定弱HKR定理在爆破和双有理变换下保持不变的条件。

提出的方法

• 为光滑闭子概形 $j: Y \hookrightarrow X$ 定义第 $p$ 个相对Hodge层 $K^p_Y$ 为 $\ker(\Omega^p_X \to j_*\Omega^p_Y)$。
• 分析相对Hodge层在沿光滑中心爆破下的行为，特别关注异常除子。
• 证明Hodge上同调的爆破公式：$H^q(\tilde{X}, \Omega^p_{\tilde{X}} \otimes \pi^*V) \cong H^q(X, \Omega^p_X \otimes V) \oplus \bigoplus_{i=1}^{c-1} H^{q-i}(Z, \Omega^{p-i}_Z \otimes \iota^*V)$。
• 利用同构 $\pi^*: H^q(X, K^p_Z \otimes V) \xrightarrow{\sim} H^q(\tilde{X}, K^p_E \otimes \pi^*V)$ 关联相对Hodge层的上同调。
• 应用Orlov的爆破公式和Kuznetsov的Hochschild同调加法性，将 $\tilde{X}$ 的Hochschild同调与 $X$ 和 $Z$ 的同调关联起来。
• 结合爆破公式与Hochschild同调计算，分析HKR谱序列的E2退化性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，扭曲Hodge–de Rham谱序列的E1退化性在爆破下是否保持不变？
• RQ2 能否在不依赖Dolbeault上同调的前提下，在正特征下建立Hodge上同调的爆破公式？
• RQ3 在正特征下，Hochschild–Kostant–Rosenberg谱序列的E2退化性是否在光滑射影概族的爆破下保持不变？
• RQ4 弱HKR定理在何种条件下是双有理不变量？
• RQ5 爆破的Hochschild同调与原概形和中心概形的同调有何关系？

主要发现

• 论文建立了Hodge上同调的爆破公式：对于 $X$ 上的任意局部自由层 $V$，有 $H^q(\tilde{X}, \Omega^p_{\tilde{X}} \otimes \pi^*V) \cong H^q(X, \Omega^p_X \otimes V) \oplus \bigoplus_{i=1}^{c-1} H^{q-i}(Z, \Omega^{p-i}_Z \otimes \iota^*V)$。
• 拉回诱导同构 $\pi^*: H^q(X, K^p_Z \otimes V) \xrightarrow{\sim} H^q(\tilde{X}, K^p_E \otimes \pi^*V)$，其中 $K^p_Z$ 为相对Hodge层。
• 在正特征的代数闭域上，光滑射影概族的HKR谱序列的E2退化性具有爆破不变性。
• 在条件 $\dim Z \leq \operatorname{char}(k) < \dim X$ 下，弱HKR定理对 $\tilde{X}$ 成立当且仅当它对 $X$ 和 $Z$ 同时成立。
• 爆破的Hochschild同调满足 $\dim HH^l(\tilde{X}) = \dim HH^l(X) + (c-1)\dim HH^l(Z)$，其中 $c$ 为中心的余维数。
• 弱HKR定理对 $\mathbb{P}(E)$ 成立当且仅当它对 $X$ 成立，从而扩展了非退化HKR谱序列的例子类。