[論文レビュー] Counterexamples to Hochschild--Kostant--Rosenberg in characteristic $p$

Benjamin Antieau, Bhargav Bhatt+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特徴値 $p$ の正の特性における Hochschild–Kostant–Rosenberg (HKR) 譜系の退化の反例を明示的に構成し、完璧体の正標数 $p$ 上の滑らかで射影的多様体の次元が $2p$ の場合、Hochschildホモロジーのホッジ分解が成立しないことを示している。分類スタック $B\mu_p$ と滑らかで射影的な多様体による近似を用いて、ホッジ・コホモロジーの非退化微分が、非自明なブラウアー類を伴うねじれ設定でも、HKR、de Rham–HP、およびクリスタリン–TP 譜系において生じることを示している。

ABSTRACT

We give counterexamples to the degeneration of the HKR spectral sequence in characteristic $p$, both in the untwisted and twisted settings. We also prove that the de Rham--$\mathrm{HP}$ and crystalline--$\mathrm{TP}$ spectral sequences need not degenerate.

研究の動機と目的

• 正標数 $p$ の体上の滑らかで固有なスキームに対して、Hochschild–Kostant–Rosenberg (HKR) 譜系が $E_2$ で退化するかどうかを調査すること。
• 特に次元 $\geq p$ の多様体に対して、正標数における Hochschild ホモロジーのホッジ分解が成立するかどうかを特定すること。
• ブラウアー類を介してねじれ Hochschild ホモロジーに退化の失敗を拡張し、de Rham–HP およびクリスタリン–TP 譜系に対しても同様の結果を得ること。
• 分類スタックと射影的近似を用いて、HKR 譜系が退化しない明示的な例を構成すること。
• ホッジコホモロジーが正標数において $\mathbb{P}^n$-バンドルを特徴づけられることを示し、これは特徴値 0 とは異なり、同型でない $\mathbb{P}^n$-バンドルを区別できる。

提案手法

• Hochschild ホモロジーが 0 次元に集中するが、ホッジコホモロジーがそうではないという事実を活用し、$B\mu_p$ をモデルとして反例を構成する。
• 正標数 $p$ の完璧体 $k$ 上の任意の有限または幾何的再帰的群スキーム $G$ に対して、$k$-スキーム $X$ が存在し、次元 $d$ の滑らかで射影的で、$BG$ に射影できる。さらに、$s+t \leq d$ の次数において、コホモロジーへの引き戻し写像が単射であることを証明する。
• 群スキーム商から生じる可能に特異な完全交差に対して、ホッジコホモロジーにおける弱い Lefschetz 定理の版を適用する。
• Hochschild ホモロジーの HKR 譜系における $d_p$ 微分が非ゼロであるような、次元 $2p$ の滑らかで射影的な多様体 $X$ の明示的例を構成する。その根拠は、$H^0(X, \Omega^1_{X/k}) \to H^p(X, \wedge^p L_{X/k})$ の非消滅性にある。
• ねじれ設定では、アズマヤ代数とブラウアー類 $\alpha$ を用いてねじれ Hochschild ホモロジー $\mathrm{HH}(X/k,\alpha)$ を定義し、$d_2^\alpha$ 微分が非ゼロである例を構成する。
• エンリケス曲面および三様体上のセーバィ・ブラウアー多様体と $\mathbb{P}^n$-バンドルを分析し、$\mathrm{dlog}$ 写像と $\alpha$ の非自明性を用いて、ホッジコホモロジーへの引き戻し写像が非単射であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数 $p>0$ の体上の滑らかで固有なスキームに対して、HKR 譜系は $E_2$ で退化するか？
• RQ2 滑らかで射影的な多様体に対しても、正標数において Hochschild ホモロジーのホッジ分解が失敗する可能性はあるか？
• RQ3 de Rham–HP およびクリスタリン–TP 譜系は正標数において退化するのか？
• RQ4 ブラウアー類によるねじれ Hochschild ホモロジーにおいて、正標数で HKR 譜系が非退化する例は存在するか？
• RQ5 正標数においてホッジコホモロジーは、特徴値 0 とは異なり、同型でない $\mathbb{P}^n$-バンドルを区別できるか？

主な発見

• 完璧体の正標数 $p$ 上の滑らかで射影的な $2p$ 次元スキーム $X$ が存在し、その HKR 譜系における $d_p$ 微分が非ゼロであるため、譜系は退化しない。
• $p=2$ の場合、古典的エンリケス曲面は、$\alpha$-ねじれ HKR 譜系において非ゼロの $d_2^\alpha$ 微分を持つ滑らかで射影的な曲面の例を提供する。
• de Rham–HP およびクリスタリン–TP 譜系は正標数においても退化しないことが示され、$H^*(\mathrm{TP}(X))$ 上の非自明なフィルトレーションによって裏付けられている。
• 正標数 $p>2$ において、滑らかで射影的な $X$ から $\mathbb{P}^{p-1}$-バンドル $P \to X$ への引き戻し写像がホッジコホモロジーで非単射であることがある。これは、ホッジコホモロジーが $\mathbb{P}^n$-バンドルを区別できることを示している。
• $\mathrm{dlog}$ 写像は、コホモロジーへの引き戻しの非単射性を検出できる。例えば、$H^2(X, \Omega^1_X) \to H^2(P, \Omega^1_P)$ が $\alpha$ が $H^2(P, \mathbf{G}_m)$ で消えるためゼロである場合に観察される。
• 正標数 $p>0$ において、$\mathbb{P}^n$-バンドルのホッジコホモロジーは、特徴値 0 とは異なり、一般には底面の上での自由加群でない。これは、$p \mid n+1$ のとき、正標数において Leray–Hirsch の定理が成立しないことを示している。