[論文レビュー] Hom-quantum groups II: cobraided Hom-bialgebras and Hom-quantum geometry

Donald Yau|ArXiv.org|Jul 10, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 46被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、写像 $\alpha$ によって制御される非結合的かつ非余結合的な cobraided bialgebras の一般化として cobraided Hom-bialgebras を導入する。comodules を用いて演算子量子 Hom-Yang-Baxter 方程式の解を構成し、量子平面への量子群の余作用を非結合的 Hom-量子幾何に一般化することで、量子行列や関連代数におけるねじれ手続きを通じて Hom-Yang-Baxter 方程式の新たな解の族が得られる。

ABSTRACT

A class of non-associative and non-coassociative generalizations of cobraided bialgebras, called cobraided Hom-bialgebras, is introduced. The non-(co)associativity in a cobraided Hom-bialgebra is controlled by a twisting map. Several methods for constructing cobraided Hom-bialgebras are given. In particular, Hom-type generalizations of FRT quantum groups, including quantum matrices and related quantum groups, are obtained. Each cobraided Hom-bialgebra comes with solutions of the operator quantum Hom-Yang-Baxter equations, which are twisted analogues of the operator form of the quantum Yang-Baxter equation. Solutions of the Hom-Yang-Baxter equation can be obtained from comodules of suitable cobraided Hom-bialgebras. Hom-type generalizations of the usual quantum matrices coactions on the quantum planes give rise to non-associative and non-coassociative analogues of quantum geometry.

研究の動機と目的

• cobarred bialgebras の非結合的・非余結合的一般化を、写像 $\alpha$ を用いて導入する cobraided Hom-bialgebras を用いて開発すること。
• 結合的および余結合的性質をねじれによって緩和することで、ホモ代数の文脈における量子群および量子幾何の理論を拡張すること。
• cobraided Hom-bialgebras の comodules を用いて、Hom-Yang-Baxter 方程式の新たな解を構成すること。
• 代数のねじれを用いて、標準的な量子群の余作用を非結合的 Hom-量子幾何に一般化すること。
• 既存の cobraided bialgebras を bialgebra の自己準同型 $\alpha$ 沿いにねじることによる、体系的な構成法を提供すること。

提案手法

• cobarred bialgebras を写像 $\alpha$ を用いて一般化することで cobraided Hom-bialgebras を定義し、乗法および余乗法が $\alpha$-ねじれの公理を満たすようにする。
• 標準的な OQYBE を一般化する2つの演算子量子 Hom-Yang-Baxter 方程式 (OQHYBEs) を導入し、cobarred form $R$ が満たすものとする。
• cobarred bialgebra $A$ の (余) 乗法を bialgebra の自己準同型 $\alpha$ 沿いにねじることで cobraided Hom-bialgebras $A_\alpha$ を構成し、$R$ をそのままで保持する。
• comodule Hom-algebras を用いて、$B_\alpha = (\rho \otimes \text{id}) \circ \alpha$ の構成により Hom-Yang-Baxter 方程式の解を生成する。
• 量子行列代数 $M_q(2)$, $GL_q(2)$, $SL_q(2)$ および超代数 $M_q(1|1)$ にねじれ手続きを適用し、新しい Hom-量子群構造を得る。
• Hom-量子平面 $\mathbb{A}^{0|2}_{q,\alpha}$ および $\mathbb{A}^{1|1}_{q,\alpha}$ における余作用の公式を、$\alpha$-ねじれ生成子および量子関係を用いて $\rho_\alpha = \rho \circ \alpha$ を計算することで検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cobarred bialgebras をどのようにして写像 $\alpha$ を用いて非結合的・非余結合的構造へ一般化できるか？
• RQ2 ホモ設定における量子 Yang-Baxter 方程式の演算子形とは何か？また、cobarred Hom-bialgebras の cobarred form $R$ はどのようにしてそれらを満たすか？
• RQ3 標準的な量子群の余作用を、ねじれを用いて非結合的 Hom-量子幾何に一般化できるか？
• RQ4 Hom-量子平面 $\mathbb{A}^{0|2}_{q,\alpha}$ および $\mathbb{A}^{1|1}_{q,\alpha}$ におけるねじれた余作用 $\rho_\alpha$ の明示的公式は何か？
• RQ5 cobraided Hom-bialgebras の comodules は、Hom-Yang-Baxter 方程式の解をどのように得るか？

主な発見

• cobarred bialgebra $A$ の (余) 乗法を bialgebra の自己準同型 $\alpha$ 沿いにねじることで cobraided Hom-bialgebras が構成され、同じ cobarred form $R$ を持つ非結合的・非余結合的 Hom-bialgebras の族 $A_\alpha$ が得られる。
• cobraided Hom-bialgebras の cobarred form $R$ は、標準的な OQYBE をホモ設定に一般化した2つの演算子量子 Hom-Yang-Baxter 方程式 (OQHYBEs) を満たす。
• Hom-Yang-Baxter 方程式の解は comodule 構造を用いて得られる：$A_\alpha$-comodule Hom-algebra $M$ に対して、演算子 $B_\alpha = (\rho \otimes \text{id}) \circ \alpha$ は HYBE を満たす。
• フェルミオン的 Hom-量子平面 $\mathbb{A}^{0|2}_{q,\alpha}$ は $M_q(2)_\alpha$-comodule Hom-algebra であり、$\rho_\alpha(xy) = \lambda^{-1}\xi^2 \det_q \otimes xy$ を満たす。ここで $\det_q = ad - q^{-1}bc$ である。
• 混合型 Hom-量子平面 $\mathbb{A}^{1|1}_{q,\alpha}$ に対して、ねじれた余作用 $\rho_\alpha$ は明示的に $\rho_\alpha(x^i) = \xi^i\{a^i \otimes x^i + (i)_{q^2} a^{i-1}b \otimes x^{i-1}y\}$ および $\rho_\alpha(x^i y) = \lambda^{-1}\xi^{i+1}\{a^i c \otimes x^{i+1} + (q(i)_{q^2} a^{i-1}bc + a^i d) \otimes x^i y\}$ として計算される。
• この構成により、標準的な量子対称性の 2 パrameter 族の comodule Hom-algebra ねじれが得られ、$\xi$ および $\lambda \neq 0$ でパラメータ化され、量子幾何を非結合的・非余結合的設定に一般化する。