[論文レビュー] Homological mirror symmetry is T-duality for $\mathbb P^n$

Bohan Fang|ArXiv.org|Apr 4, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$ℚ^n$ におけるホモロジカルミラー対称性を、T双対性を用いて、$ℚ^n$ 上の正則ラインバンドルとラングランジアン部分多様体の間の対応として実現することにより確立する。可 constructible ホロモルフィック層とクーヴィー構造を用いて、これらのラングランジアンの導来 Fukaya 圏が $ℚ^n$ 上の coherent sheaf の導来カテゴリと quasi-equivalent であることを証明し、T双対性を介してホモロジカルミラー対称性を実現する。

ABSTRACT

In this paper, we apply the idea of T-duality to projective spaces. From a connection on a line bundle on $\mathbb P^n$, a Lagrangian in the mirror Landau-Ginzburg model is constructed. Under this correspondence, the full strong exceptional collection $\mathcal O_{\mathbb P^n}(-n-1),...,\mathcal O_{\mathbb P^n}(-1)$ is mapped to standard Lagrangians in the sense of \cite{nz}. Passing to constructible sheaves, we explicitly compute the quiver structure of these Lagrangians, and find that they match the quiver structure of this exceptional collection of $\mathbb P^n$. In this way, T-duality provides quasi-equivalence of the Fukaya category generated by these Lagrangians and the category of coherent sheaves on $\mathbb P^n$, which is a kind of homological mirror symmetry.

研究の動機と目的

• T 双対性を A モデルと B モデルの間の幾何的ブリッジとして用いて、$\mathbb{P}^n$ におけるホモロジカルミラー対称性を確立すること。
• T 双対性を用いて、$\mathbb{P}^n$ の正則ラインバンドルから、Landau-Ginzburg ミラー空間内の特定のラングランジアンを構成すること。
• これらのラングランジアンによって生成される導来 Fukaya 圏が、$ℚ^n$ 上の coherent sheaf の導来カテゴリと quasi-equivalent であることを示すこと。
• 標準的ラングランジアンのクーヴィー構造が、例外的コレクション $ℝ(-n-1), \dots, \u211d(-1)$ のそれと一致することを確認し、同値性を裏付けること。

提案手法

• $\mathbb{P}^n$ 上の正則ラインバンドルに T 双対性を適用し、ミラー空間 $(\mathbb{C}^*)^n$ 内に $n+1$ 個のラングランジアン $\mathcal{L}(-1), \dots, \mathcal{L}(-n-1)$ を構成すること。
• [23] および [22] の結果を用いて、ラングランジアンから constructible ホロモルフィック層へ移行し、T 双対性構成によって誘導される分割を用いること。
• 特定の部分複体 $\Omega(\mathcal{U}^b(j), d)$ 上の微分形式のコホモロジーを用いて、constructible ホロモルフィック層の導来カテゴリ内の自己準同型空間を計算すること。
• 明示的な生成子 $x^b_{i,j}$ を用いて、constructible ホロモルフィック層カテゴリ内の自己準同型空間と $D^b Coh(\mathbb{P}^n)$ 内のそれらの間の同型を確立すること。
• constructible ホロモルフィック層カテゴリ内の自己準同型の合成が、coherent sheaf カテゴリ内の乗法と一致することを検証し、クーヴィー同値性を確認すること。
• 例外的コレクション $\mathcal{O}(-n-1), \dots, \mathcal{O}(-1)$ が完全かつ強力であることを利用し、カテゴリの三角形同値性を結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T 双対性を用いて、$\mathbb{P}^n$ の正則ラインバンドルから、$\mathbb{P}^n$ の Landau-Ginzburg ミラー空間内のラングランジアンを構成できるか？
• RQ2 T 双対性によって得られたラングランジアンが、$D^b Coh(\mathbb{P}^n)$ と quasi-equivalent な Fukaya 圏を生成するか？
• RQ3 Fukaya カテゴリ内のラングランジアンのクーヴィー構造が、例外的コレクション $\mathcal{O}(-n-1), \dots, \mathcal{O}(-1)$ のそれと同型であるか？
• RQ4 ラングランジアンとラインバンドルの間の対応が、コホモロジーおよび層の生成子のレベルで自己準同型の合成を保存するか？

主な発見

• ラングランジアン $\mathcal{L}(-1), \dots, \mathcal{L}(-n-1)$ によって生成される導来 Fukaya 圏が $D^b Coh(\mathbb{P}^n)$ と quasi-equivalent であることが示され、T 双対性を介して $\mathbb{P}^n$ におけるホモロジカルミラー対称性が確立された。
• ミラー空間上の constructible ホロモルフィック層カテゴリ内の自己準同型空間が、$D^b Coh(\mathbb{P}^n)$ 内のそれらと同型であり、生成子 $e^b_{i,j}$ がラインバンドルのコホモロジー内の単項式 $x^b_{i,j}$ にマッピングされることを示した。
• ラングランジアンのクーヴィー構造は、例外的コレクション $\mathcal{O}(-n-1), \dots, \mathcal{O}(-1)$ のそれと正確に一致し、$N_n(i-j)$ 個の生成子が多面体領域内の格子点を数える。
• constructible ホロモルフィック層カテゴリ内の自己準同型の合成が、楔積に対応し、coherent sheaf カテゴリ内の乗法と一致することを確認し、代数的同値性を裏付けた。
• ラングランジアンによって誘導されるミラー空間 $(S^1)^n$ の分割が、toric 多様体に対してボンダルが定義したものと一致し、T 双対性が既存の代数的幾何学的構成と結びついた。
• 本手法はすべての射影的 toric 多様体に拡張可能であり、滑らかな toric 多様体に対してアブーザイドの結果を回復するため、T 双対性によるホモロジカルミラー対称性の一般的枠組みを示唆する。