[論文レビュー] Homotopy theory in a quasi-abelian category

James Wallbridge|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意のグロテンディーク擬アーベル圏における微分付き可換加群（dg加群）およびdg代数の圏にクイレンモデル構造を確立し、無限次元設定における導来代数幾何学のホモトピー的枠組みを可能にする。主な貢献は、完備ボルノロジカルベクトル空間や便利ベクトル空間などのような圏が、コシュールおよびシェヴァリエ＝エイレンバーグの分解といった導来構成を支える良好なモデル構造を備えていることを示したことである。

ABSTRACT

We prove that the category of dg-modules and dg-algebras in a Grothendieck quasi-abelian category are endowed with a Quillen model structure. This allows some flexibility in setting up a theory of derived algebraic geometry in the infinite dimensional setting. For example, the category of complete bornological vector spaces, or equivalently, convenient vector spaces, is a Grothendieck quasi-abelian category. Closely related is the Grothendieck quasi-abelian category of ind-Banach spaces whose associated model category is shown to be Quillen equivalent. Applications include the Chevalley-Eilenberg resolution and the Koszul resolution of a commutative monoid object in a Grothendieck quasi-abelian category. These can be used for the calculation of derived quotients by an infinite dimensional Lie algebra and derived intersections respectively.

研究の動機と目的

• 完備ボルノロジカル空間や便利ベクトル空間のようないくつかの非アーベルだが擬アーベルな圏を含む無限次元ベクトル空間のホモトピー論を構築すること。
• グロテンディーク擬アーベル圏におけるモデル圏の構成によって、非アーベル設定への導来代数幾何学の拡張を図ること。
• 無限次元リー代数による導来商や、分解能を用いた導来交差を計算するための枠組みを提供すること。
• 関連する圏（例：$\textup{dg}^{\textup{CBorn}_{k}}$ と $\textup{dg}^{\textup{Conv}_{k}}$）における複体のモデル圏の間のクイレン同値性を確立すること。
• 古典的な分解（シェヴァリエ＝エイレンバーグおよびコシュール）を、グロテンディーク擬アーベル圏における可換モノイド対象の設定に一般化すること。

提案手法

• グロテンディーク擬アーベル圏上のdg加群およびdg代数の圏が、精密化された準同型写像を用いて定義されるファイブレーションと弱同値を持つクイレンモデル構造を備えていることを証明する。
• dg加群におけるインジェクティブおよびプロジェクティブモデル構造を用い、すべての対象がコフェイブルであり、ファイブレーションがレベルごとに定義されることを示す。
• 局所的生成圏およびフィルタード帰納極限に関して閉じた厳密単射の理論を応用し、グロテンディーク擬アーベル性を確立する。
• ベース環 $Q$ 上の可換dg代数の圏におけるコシュール＝テイト分解 $K(R,P)$ を、$P'$ 上の恒等写像のマッピングコーンを用いてコフェイブルな置換として構成する。
• 同調群に沿った同型写像を示すことで、$K(R,P) \to R$ の増幅写像が同調群で同型を誘導することを示し、したがってこれは自明なファイブレーション（つまりコフェイブルな置換）であることを証明する。
• 図式の第二列に現れる圏からの誘導モデル構造を通じて、完備ボルノロジカルベクトル空間および便利ベクトル空間における複体のモデル圏の間のクイレン同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロテンディーク擬アーベル圏におけるdg加群およびdg代数の圏にクイレンモデル構造を構成できるか？
• RQ2 完備ボルノロジカルベクトル空間または便利ベクトル空間の圏は、無限次元における導来代数幾何学を支えるモデル構造を備えているか？
• RQ3 シェヴァリエ＝エイレンバーグおよびコシュールの分解は、グロテンディーク擬アーベル圏における可換モノイド対象の設定に一般化可能か？
• RQ4 複体のモデル圏 $\textup{CBorn}_{k}$ および $\textup{Conv}_{k}$ の間にはクイレン同値性が存在するか？
• RQ5 この枠組みにおいて、導来スタック上の関数の導来臨界軌跡は、コシュール型分解を用いて計算可能か？

主な発見

• 任意のグロテンディーク擬アーベル圏におけるdg加群およびdg代数の圏はクイレンモデル構造を備え、非アーベル設定におけるホモトピー代数を可能にする。
• 完備ボルノロジカルベクトル空間における複体のモデル圏は、便利ベクトル空間におけるそれとクイレン同値であり、二つの無限次元枠組みの間の橋渡しを確立する。
• コシュール代数 $K(R,P)$ は、$Q$ 上の可換dg代数の圏における $R$ のコフェイブルな置換を提供し、増幅写像 $K(R,P) \to R$ は自明なファイブレーションである。
• 導来スタック上の関数 $f$ の導来臨界軌跡は、接空間複体のコシュール分解を用いて計算された $\operatorname{Spec}(K(A,\mathbb{L}_{X};df))$ と同型である。
• シフトされた余接スタック $T^*X[-1]$ は、導来臨界軌跡のモデルであり、その関数代数は $(\textup{Sym}(\mathbb{T}_X[1]), d_{df})$ として与えられ、コシュール型dg代数である。
• コシュール分解の構成は、$Q$-代数同値 $R_m \otimes_Q K(R,P) \simeq K(R,P;m)$ に拡張可能であり、導来幾何学における基底変換を可能にする。