[論文レビュー] Hopf algebras of diagrams

Gérard Duchamp, Jean-Gabriel Luque+3 more|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、分割の量子場理論から導かれる図形およびパックド行列のホップ代数を導入し、研究する。バイワードとパrameter化された非可換交換関係を用いて、${\bf WSym}$および${\bf WQSym}$のホップ代数の変形を実現する。主な貢献は、ラベル付き図形およびパックド行列によるこれらの代数の組合せ的実現であり、構造定数が変形パrameter $q_s$ および $q_c$ の単項式として与えられ、特定の代数がバイデンドリフレムbialgebraであることを証明する。これにより、自己双対的で、自由かつ余自由であることが示される。

ABSTRACT

We investigate several Hopf algebras of diagrams related to Quantum Field Theory of Partitions and whose product comes from the Hopf algebras WSym or WQSym respectively built on integer set partitions and set compositions. Bases of these algebras are indexed either by bipartite graphs (labelled or unlabbeled) or by packed matrices (with integer or set coefficients). Realizations on biword are exhibited, and it is shown how these algebras fit into a commutative diagram. Hopf deformations and dendriform structures are also considered for some algebras in the picture.

研究の動機と目的

• 組合せ的ホップ代数と分割の量子場理論の間の関係を強化し、特に非可換対称関数と結びつけること。
• ホップ代数における変形のメカニズムとしての明示的例を提供すること。
• ${\bf MQSym}$ と呼ばれるパックド行列のホップ代数が、整数の集合分割および合成に基づく代数の変形として自然に生じることを示すこと。
• 変形パrameter $q_s$ および $q_c$ でパrameter化された、部分的に非可換な文字を持つバイワードによるこれらの代数の実現を確立し、構造定数を組合せ的データから導出すること。
• 特定の代数がバイデンドリフレムbialgebraであることを証明し、それらが自己双対的で、自由かつ余自由であることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、有限な台を持つ重み関数 $\omega: \mathbb{N}^+ \times \mathbb{N}^+ \to \mathbb{N}$ としてラベル付き図形を定義し、整数の辺重みを持つ二部グラフを表す。
• 彼らは、上段が弱く非減少で、上段の値が一定のとき下段が弱く非増加であるような部分的に非可換なバイワード上でホップ代数 ${\bf LD}$ の実現を導入する。
• 二つの ${\bf LD}$ 要素の積における構造定数は、$q_s$ および $q_c$ の単項式として計算され、結果のパックド行列における左寄与と右寄与の行単位の和から得られる指数が関与する。
• 指数 $x(A,B,C)$ および $y(A,B,C)$ は、それぞれ合体図 $C$ の各行および行対についての和として定義され、左および右部分からの寄与を数える。
• 積が ${\bf LD}$ の基底上で閉じており、結合的かつ部分的非可換交換と両立することを示し、これにより ${\bf LD}$ が適切に定義されたホップ代数であることが保証される。
• 特殊化 $q_s = q_c = 1$ により、標準的な ${\bf MQSym}$ 代数が回復され、${\bf MQSym}$ が変形代数の特殊ケースであることが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラベル付き図形のホップ代数は、部分的に非可換な文字を持つバイワードによってどのように実現できるか？
• RQ2 二つのラベル付き図形基底要素の積における構造定数の組合せ的解釈は、変形パrameter $q_s$ および $q_c$ の観点からどのように説明できるか？
• RQ3 整数係数または集合係数のパックド行列の代数は、${\bf WSym}$ および ${\bf WQSym}$ とどのように関係するか？
• RQ4 ${\bf MQSym}$ のホップ代数は、シフト原理を介してより基本的な代数の変形として理解できるか？
• RQ5 これらの代数が有する構造的性質（例：バイデンドリフレム、自己双対、自由、余自由）は何か、そしてそれらはどのように証明されるか？

主な発見

• 変形代数における二つの基底要素 ${\bf LD}_A \star {\bf LD}_B$ の積は、${\bf LD}_C$ の線形結合として表され、係数は $q_s^{x(A,B,C)} q_c^{y(A,B,C)}$ の単項式で与えられる。ここで $x$ と $y$ は、合体図における左寄与と右寄与の間の重み付き相互作用を数える。
• 指数 $x(A,B,C)$ および $y(A,B,C)$ は、それぞれ行および行対についての明示的和として計算され、結果のパックド行列 $C$ の各行の左部分および右部分におけるインデックスの和に基づく。$x$ は行内相互作用、$y$ は行間相互作用を数える。
• ${\bf LD}$ は積に関して閉じており、バイワードモデルからの結合的および部分的非可換交換との両立性を継承するため、適切に定義されたホップ代数を形成する。
• 特殊化 $q_s = q_c = 1$ により、標準的な ${\bf MQSym}$ 代数が回復され、${\bf MQSym}$ が変形代数の特殊ケースであることが確認される。
• これらの代数がバイデンドリフレムbialgebraであることが示され、それにより自己双対的で、自由かつ余自由なホップ代数であることが示される。
• 例の計算では、${\bf LD}_{(2,0;1,4)} \star {\bf LD}_{(1)}$ が、係数 $1$、$q_s^5$、$q_c^5$、$q_s^2 q_c^5$、および $q_c^7$ の五つの項を生じ、バイワード再配置からの組合せ的数え上げと一致する。