[論文レビュー] Hopf algebras, tetramodules, and n-fold monoidal categories

Boris Shoikhet|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、結合的バイアルゲブラ上の四モジュールの圏に2重モノイダル構造を確立し、ヤオネタ積を介してそのExt^*空間が3代数をなすことを示す。さらに、任意のホプフ代数のゲルステンハーバー＝シュックコホモロジーには自然な3代数構造が存在することを証明し、Z-平坦な代数のホッフコホモロジーに作用する安定ホモトピー群のオペラッドを同定する。

ABSTRACT

The abelian category of tetramodules over an associative bialgebra $A$ is related with the Gerstenhaber-Schack (GS) cohomology as $Ext_\Tetra(A,A)=H_\GS(A)$. We construct a 2-fold monoidal structure on the category of tetramodules of a bialgebra. Suppose $C$ is an abelian $n$-fold monoidal category with the unit object $A$. We prove, provided some condition (*), that $Ext_C(A,A)$ is an $(n+1)$-algebra. In the case of bialgebras this condition (*) is satisfied when $A$ is a Hopf algebra. Finally, the GS cohomology of a Hopf algebra is a 3-algebra. As well, we consider this kind of questions of (bi)algebras over integers. Let $A$ be an associative algebra over $Z$ flat over $Z$. We prove that the operad acting on its Hochschild cohomology is the operad of stable homotopy groups of the little discs operad.

研究の動機と目的

• バイアルゲブラA上の四モジュールの圏に2重モノイダル構造を構成すること。
• n重モノイダルアーベル圏Cにおいて単位がAであるとき、そのCにおけるExt^*_{C}(A,A)が自然に(n+1)-代数構造をもつことの証明。
• Z-平坦な結合的代数のホッフコホモロジーに作用するオペラッドを同定すること。
• n重モノイダル圏を用いて、位相的空間から順次ベクトル空間への反変関手を定義すること。
• ゲルステンハーバー＝シュックコホモロジーと3代数のような高次代数的構造との間の関係を確立すること。

提案手法

• バイアルゲブラA上の四モジュールの圏Tetra(A)に2重モノイダル構造を構成する。
• ヤオネタ積を用いて、n重モノイダルアーベル圏C（単位がA）において、Ext^*_{C}(A,A)に次数付き(n+1)-代数構造を定義する。
• Hochschildコホモロジーに作用するオペラッドO^Z_n = π^{stab}_{-i}(D^2_n)を定義する。
• Ext^*_{Tetra(A)}(A,A)が自由加群と余自由コモジュールを用いた分解を通じてゲルステンハーバー＝シュックコホモロジーに同型であることを活用する。
• 普遍δ関手の性質を用いて、分解を用いたExtの計算が標準的なExt関手と一致することを示す。
• 四モジュールの圏における対角のコーエルゼン分解を用いて、S(V)のコホモロジーをVとその双対の外積の直和として計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バイアルゲブラ上の四モジュールの圏に2重モノイダル構造をどのように構成できるか。
• RQ2 n重モノイダルアーベル圏Cにおいて単位がAであるとき、Ext^*_{C}(A,A)にどのような代数的構造が生じるか。
• RQ3 Z-平坦な結合的代数のホッフコホモロジーに作用するオペラッドは何か。また、安定ホモトピー群とどのように関係しているか。
• RQ4 ホプフ代数のゲルステンハーバー＝シュックコホモロジーがなぜ自然に3代数構造をもつのか。
• RQ5 S(V)のコホモロジーに3代数構造が四モジュールの2重モノイダル構造を介して明示的に検証可能か。

主な発見

• バイアルゲブラA上の四モジュールの圏は2重モノイダル構造をもつ。
• 任意のn重モノイダルアーベル圏C（単位がA）において、次数付きExt^*_{C}(A,A)はヤオネタ積を介して自然に(n+1)-代数構造をもつ。
• 任意のホプフ代数Aのゲルステンハーバー＝シュックコホモロジーは、Tetra(A)における2重モノイダル構造のおかげで3代数である。
• Z-平坦な結合的代数Aのホッフコホモロジーには、k番目の成分が安定ホモトピー群π^{stab}_{-i}(D^2_k)の次数付き空間であるオペラッドの自然な作用がある。
• A = S(V)の場合、ゲルステンハーバー＝シュックコホモロジーはH^k_{GS}(A) = ⨁_{i+j=k} Λ^i V ⊗ Λ^j(V*)として計算され、標準的な3代数構造をもつ。
• H^k_{GS}(S(V))における3代数構造は、Tetra(S(V))における2重モノイダル構造から誘導されるものと予想されるが、明示的な検証は未解決の仮説のままである。