[論文レビュー] Improved Algorithmic Bounds for Discrepancy of Sparse Set Systems

Nikhil Bansal, Shashwat Garg|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2016

Mathematical Approximation and Integration参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、各要素が高々 $ t $ 個の集合に属するスパース集合系における低不均一性色分けのための新規なアルゴリズム的手法を提示する。重み付きランダムウォークフレームワークに適応的再重み付けと段階的サイズ削減を組み合わせることで、$ O((t\log n\log s)^{1/2}) $ の不均一性バインディングを達成し、従来の $ O(t^{1/2}\log n) $ のアルゴリズム的バインディングを著しく改善し、多項式サイズの集合系におけるバナシュチックの非構成的バインディング $ O((t\log n)^{1/2}) $ に近づける。

ABSTRACT

We consider the problem of finding a low discrepancy coloring for sparse set systems where each element lies in at most $t$ sets. We give an algorithm that finds a coloring with discrepancy $O((t \log n \log s)^{1/2})$ where $s$ is the maximum cardinality of a set. This improves upon the previous constructive bound of $O(t^{1/2} \log n)$ based on algorithmic variants of the partial coloring method, and for small $s$ (e.g.$s= extrm{poly}(t)$) comes close to the non-constructive $O((t \log n)^{1/2})$ bound due to Banaszczyk. Previously, no algorithmic results better than $O(t^{1/2}\log n)$ were known even for $s = O(t^2)$. Our method is quite robust and we give several refinements and extensions. For example, the coloring we obtain satisfies the stronger size-sensitive property that each set $S$ in the set system incurs an $O((t \log n \log |S|)^{1/2})$ discrepancy. Another variant can be used to essentially match Banaszczyk's bound for a wide class of instances even where $s$ is arbitrarily large. Finally, these results also extend directly to the more general Komlós setting.

研究の動機と目的

• 最大次数 $ t $ のスパース集合系における非構成的不均一性バインディングとアルゴリズム的保証の間のギャップを埋めること。
• スパース集合系におけるベック＝フィアラ問題の従来のアルゴリズム的バインディング $ O(t^{1/2}\log n) $ を改善すること。
• 多項式サイズの集合系 ($ s = \textrm{poly}(t) $) に対してバナシュチックの非構成的結果 $ O((t\log n)^{1/2}) $ に近い最適な不均一性バインディングを達成すること。
• 異なる集合サイズに対応できるサイズ感受性で適応的な不均一性制御を可能にする堅牢なフレームワークの構築。
• 本手法をコムロス設定に拡張し、より良い保証を得ること。

提案手法

• 段階的ランダムウォークアルゴリズムが用いられ、各段階で反復的な色分けステップにより集合のサイズを定数倍ずつ削減する。
• 不均一性バインディングの改善のため、インシデント行列の行に対する適応的再重み付けを実施し、$ \ell_2 $-ノルムを制御する。
• 重要な要素として、すべての集合に対して高確率での不均一性制御を保証するため、段階ごとの集中不等式と和集合不等式を用いる。
• 重み付き不均一性解析を適用し、スケーリング係数を介して再重み付けされたシステムからの境界を元のシステムに翻訳する。
• 集合のサイズごとに重みと境界を最適化するため、サイズクラス分け方式（$ [t2^{i-1}, t2^i) $）を導入する。
• 不均一性への寄与が無視できるため、しきい値サイズ $ O((t\log n)^{1/2}) $ 未満の集合は破棄される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $ s $（最大集合サイズ）に対して、$ t $-スパース集合系のアルゴリズム的不均一性バインディングを $ O(t^{1/2}\log n) $ を超えて改善できるか？
• RQ2 $ s = \textrm{poly}(t) $ の場合に、アルゴリズム的手法がバナシュチックの非構成的 $ O((t\log n)^{1/2}) $ バインディングに一致できるか？
• RQ3 本手法はコムロス設定に拡張可能か、より良い保証を得られるか？
• RQ4 インシデント行列の行に対する適応的再重み付けが、よりタイトでサイズ感受性の不均一性バインディングをもたらすか？
• RQ5 効率性と高確率保証を維持しつつ、近似的最適な不均一性を達成できるか？

主な発見

• 本アルゴリズムは、$ t $-スパース集合系に対して $ O((t\log n\log s)^{1/2}) $ の不均一性バインディングを達成し、従来の $ O(t^{1/2}\log n) $ のアルゴリズム的バインディングを改善する。
• 集合サイズ $ s = \textrm{poly}(t) $ の場合、バインディングは $ \tilde{O}((t\log n)^{1/2}) $ にまで短縮され、バナシュチックの非構成的バインディングに $ \textrm{poly}(\log\log n) $ 要素の違いを除き一致する。
• 本手法はサイズ感受性の不均一性保証を提供する：各集合 $ S $ は $ O((t\log n\log|S|)^{1/2}) $ の不均一性を被る。特に小さい集合ではより改善される。
• 適応的再重み付けにより、再重み付けされたシステムの列の $ \ell_2 $-ノルムが有界であれば、すべての集合に対して $ O((t\log n)^{1/2}) $ の不均一性が達成される。
• フレームワークはコムロス設定に拡張可能であり、広範なインスタンスクラスにおいて既知の非構成的バインディングと一致するアルゴリズム的保証を提供する。
• 段階ごとの集中と和集合不等式を用いることで、確率 $ 1 - 1/\log n $ 以上の高確率成功を保証する。