[論文レビュー] Improved Bound for Matching in Random-Order Streams

Aaron Bernstein|arXiv (Cornell University)|May 1, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ランダム順序ストリームにおいて、O(n log n) の空間で (2/3 − ε)-近似の最大基数マッチングを決定的かつ一回のパスで計算するストリーミングアルゴリズムを提示する。これは、従来の手法と比較して、近似比の向上と空間計算量の低減の両方を達成しており、半ストリーミングモデルにおける前人研究を著しく改善する。アルゴリズムはストリームのランダム順序を活用して敵対的下界を回避し、マッチングがランダム順序設定では実際により容易であることが証明可能であることを示している。

ABSTRACT

We study the problem of computing an approximate maximum cardinality matching in the semi-streaming model when edges arrive in a \emph{random} order. In the semi-streaming model, the edges of the input graph G = (V,E) are given as a stream e_1, ..., e_m, and the algorithm is allowed to make a single pass over this stream while using $O(n extrm{polylog}(n))$ space ($m = |E|$ and $n = |V|$). If the order of edges is adversarial, a simple single-pass greedy algorithm yields a $1/2$-approximation in $O(n)$ space; achieving a better approximation in adversarial streams remains an elusive open question. A line of recent work shows that one can improve upon the $1/2$-approximation if the edges of the stream arrive in a random order. The state of the art for this model is two-fold: Assadi et al. [SODA 2019] show how to compute a $2/3(\sim.66)$-approximate matching, but the space requirement is $O(n^{1.5} extrm{polylog}(n))$. Very recently, Farhadi et al. [SODA 2020] presented an algorithm with the desired space usage of $O(n extrm{polylog}(n))$, but a worse approximation ratio of $6/11(\sim.545)$, or $3/5(=.6)$ in bipartite graphs. In this paper, we present an algorithm that computes a $2/3(\sim.66)$-approximate matching using only $O(n \log(n))$ space, improving upon both results above. We also note that for adversarial streams, a lower bound of Kapralov [SODA 2013] shows that any algorithm that achieves a $1-1/e(\sim.63)$-approximation requires $(n^{1+Ω(1/\log\log(n))})$ space. Our result for random-order streams is the first to go beyond the adversarial-order lower bound, thus establishing that computing a maximum matching is provably easier in random-order streams.

研究の動機と目的

• 敵対的ストリームで達成可能な 1/2-近似と、1−1/e ≈ 0.633 の下界との間のギャップを埋めるために、ストリーミンググラフにおけるエッジのランダム順序を活用する。
• O(n log n) の空間使用量で、最大マッチングに対して (2/3 − ε)-近似を達成する単一パスの半ストリーミングアルゴリズムを設計し、従来の空間・近似比のトレードオフを改善する。
• 敵対的順序の空間下界を超えることで、ランダム順序ストリームにおいて最大マッチングを計算することが、敵対的順序よりも実際に容易であることを証明する。
• 一般グラフおよび二部グラフに対して、単純で決定的なアルゴリズムで高い近似比と低い空間計算量を統合する。

提案手法

• アルゴリズムは一回のパスでエッジをランダム順に処理し、潜在的なマッチングエッジを追跡する動的部分グラフ H を維持する。
• 二段階のアプローチを採用する：第I段階では、サイズ α のエポックごとに「不十分なエッジ」（次数の合計 < β(1−λ)）をチェックし、そのようなエッジが見つからなければ早期に終了する。
• 第II段階は、第I段階で不十分なエッジが発見されない場合にのみ活性化され、残りのグラフに少ない低次数エッジが存在することを保証する。
• β = 1/ε および λ = 1/2 に基づくしきい値機構を用い、α = m/(5 log n) を用いてエポックサイズを制御し、濃度の上限を保証する。
• 確率的解析を用いて、不十分なエッジを逃す失敗確率をバウンドし、最大 n² 個のエポックに対して和集合を用い、Pr[悪影響] ≤ n⁻³ を示す。
• 中心的な洞察は、あるエポックで不十分なエッジが見つからなければ、残りのストリームにはそのようなエッジがほとんどない可能性が高く、高確率での近似が可能になることである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム順序ストリームにおいて、O(n log n) の空間で一回のパスで (2/3 − ε)-近似の最大マッチングが計算可能か？
• RQ2 1−1/e-近似に対して、敵対的順序の空間下界 n^{1+Ω(1/log log n)} をランダム順序ストリームで超えることは可能か？
• RQ3 一般グラフおよび二部グラフの両方で、近似的に線形空間 O(n log n) で 2/3 の近似比を達成できるか？
• RQ4 エッジのランダム順序が、敵対的ストリームと比較して、高精度マッチングのための空間計算量を根本的に低減するか？
• RQ5 これらの技術を重み付きグラフに拡張し、ランダム順序ストリームで 0.506 を超える近似を達成できるか？

主な発見

• 一般グラフにおいて、O(n log n) の空間で (2/3 − ε)-近似の最大基数マッチングを達成する。これは、Assadi et al. [SODA 2019] の O(n^{1.5} polylog n) の空間を改善している。
• 二部グラフにおいても、同じアルゴリズムが O(n log n) の空間で (2/3 − ε)-近似を達成し、最高の既知の近似比を維持しながら、空間計算量を大幅に削減している。
• Farhadi et al. [SODA 2020] が一般グラフで O(n polylog n) の空間で 6/11 ≈ 0.545 の近似を達成していたのに対し、本稿の結果はより高い近似比とより優れた空間効率を実現している。
• この結果により、敵対的順序の下界 n^{1+Ω(1/log log n)} を超えることで、ランダム順序ストリームにおいて最大マッチングの計算が敵対的順序よりも実際に容易であることが証明された。
• 失敗確率は O(n⁻³) でバウンドされており、最大 n² 個のエポックに対して和集合を用いることで、高確率での正しさが保証されている。
• あるエポックですべての不十分なエッジを逃す確率は、(1 − 5 log n / α)^α ≤ n⁻⁵ 以下であり、濃度の上限を用いてきめ細かく制御されている。