[论文解读] Improved Deterministic Distributed Construction of Spanners

Ofer Grossman, Merav Parter|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种确定性分布式算法，用于在 ${\mathsf{CONGEST}}$ 模型中构建 $(2k-1)$-距离图，对于偶数 $k$，其时间复杂度为 $O(2^k ⋅ n^{1/2-1/k})$ 轮，对于奇数 $k$，其时间复杂度为 $O(2^k ⋅ n^{1/2-1/(2k)})$ 轮，同时仅使用 $O(\log n)$ 大小的消息。通过引入超聚类技术和针对非平衡二分图的稀疏距离图构造方法，该算法实现了最优的边数 $O(k ⋅ n^{1+1/k})$。

ABSTRACT

Graph spanners are fundamental graph structures with a wide range of applications in distributed networks. We consider a standard synchronous message passing model where in each round $O(\log n)$ bits can be transmitted over every edge (the CONGEST model). The state of the art of deterministic distributed spanner constructions suffers from large messages. The only exception is the work of Derbel et al. '10, which computes an optimal-sized $(2k-1)$-spanner but uses $O(n^{1-1/k})$ rounds. In this paper, we significantly improve this bound. We present a deterministic distributed algorithm that given an unweighted $n$-vertex graph $G = (V, E)$ and a parameter $k > 2$, constructs a $(2k-1)$-spanner with $O(k \cdot n^{1+1/k})$ edges within $O(2^{k} \cdot n^{1/2 - 1/k})$ rounds for every even $k$. For odd $k$, the number of rounds is $O(2^{k} \cdot n^{1/2 - 1/(2k)})$. For the weighted case, we provide the first deterministic construction of a $3$-spanner with $O(n^{3/2})$ edges that uses $O(\log n)$-size messages and $\widetilde{O}(1)$ rounds. If the nodes have IDs in $[1, Θ(n)]$, then the algorithm works in only $2$ rounds!

研究动机与目标

• 解决在 ${\mathsf{CONGEST}}$ 模型中以小消息大小实现稀疏距离图的确定性构造这一长期存在的挑战。
• 通过在不依赖大消息的前提下实现接近最优的轮数复杂度，弥合随机化与确定性距离图构造之间的差距。
• 首次实现 $3$-距离图的确定性构造，其边数为 $O(n^{3/2})$，使用 $O(\log n)$ 大小的消息，并在 $\widetilde{O}(1)$ 轮内完成。
• 在 $k$ 较大时，显著改进确定性 $(2k-1)$-距离图构造的轮数复杂度，超越以往工作。
• 在节点 ID 属于 $[1, \Theta(n)]$ 的前提下，使常数直径图中的高效确定性距离图构造成为可能，仅需 $O(1)$ 轮。

提出的方法

• 提出一种新颖的超聚类技术，将 Baswana-Sen 聚类分组为超聚类，以减少通信开销。
• 将非平衡二分图的稀疏距离图构造作为关键子程序，以限制距离图构造过程中的边数增加。
• 采用递归聚类策略，每轮将聚类数量减少 $\sqrt{n}$ 倍，从而实现高效的并行处理。
• 在 $O(2^k ⋅ n^{1/2-1/k})$ 轮内完成初始的 $0$-级超聚类构造，利用深度有界且边不相交的子图。
• 对低扩展性超聚类采用距离图构造，对高扩展性超聚类采用 BFS 树，以维持伸展保证。
• 使用终止阶段，每个顶点向每个剩余聚类中的一个邻居添加边，从而在 $O(1)$ 轮内完成距离图构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在 ${\mathsf{CONGEST}}$ 模型中，使用 $O(\log n)$ 大小的消息并实现接近最优的轮数复杂度，来确定性地构造 $(2k-1)$-距离图？
• RQ2 是否可能在保持小消息大小和亚线性轮数复杂度的前提下，为 $(2k-1)$-距离图实现最优边数 $O(k ⋅ n^{1+1/k})$？
• RQ3 我们能否设计一种确定性算法，在仅使用 $O(\log n)$ 大小消息的前提下，于 $\widetilde{O}(1)$ 轮内构造出边数为 $O(n^{3/2})$ 的 $3$-距离图？
• RQ4 如何在不使用大消息的前提下，高效模拟 Baswana-Sen 算法的确定性分布式环境？
• RQ5 在小消息大小的前提下，常数直径图中确定性距离图构造的最小轮数复杂度是多少？

主要发现

• 该算法在 $O(2^k ⋅ n^{1/2-1/k})$ 轮内构造出边数为 $O(k ⋅ n^{1+1/k})$ 的 $(2k-1)$-距离图，适用于偶数 $k$。
• 对于奇数 $k$，轮数复杂度为 $O(2^k ⋅ n^{1/2-1/(2k)})$，这是在确定性设置下首次为奇数 $k$ 提供的此类界。
• 首次实现了边数为 $O(n^{3/2})$ 的 $3$-距离图的确定性构造，仅用 $\widetilde{O}(1)$ 轮和 $O(\log n)$ 大小的消息。
• 若节点 ID 属于 $[1, \Theta(n)]$，该算法仅用 $2$ 轮即可构造出 $3$-距离图。
• 该算法在保持小消息大小的同时，实现了最优的伸展与边数权衡，解决了确定性分布式距离图构造中长期存在的开放问题。
• 该构造可扩展至一般图，其直径为 ${\rm diam}(G)$，仅使轮数复杂度略有增加，同时保持相同的渐近界。