[論文レビュー] Improved Quantum Ternary Arithmetics

Alex Bocharov, Shawn X. Cui+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、三値の可逆的および量子算術演算のための最適化された量子回路を提示し、2つの効率的なアダー設計を導入する：O(n)の深さで1つのアスクィラのみを必要とする三値ラッピングアダー、およびO(log n)の深さでO(n)のアスクィラを用いるキャリーオーライクスアダー。この手法は、非クリフォード反射を2つのゲートセット（C(X)ゲートまたはP9位相ゲート）を用いて分解することで、2つの異なる量子アーキテクチャ上で正確な合成を可能にする。さらに、三値多項式を用いた対角ユニタリの因数分解の新規な手法も提案する。

ABSTRACT

Qutrit (or ternary) structures arise naturally in many quantum systems, particularly in certain non-abelian anyon systems. We present efficient circuits for ternary reversible and quantum arithmetics. Our main result is the derivation of circuits for two families of ternary quantum adders, namely ripple carry adders and carry look-ahead adders. The main difference to the binary case is the more complicated form of the ternary carry, which leads to higher resource counts for implementations over a universal ternary gate set. Our ternary ripple adder circuit has a circuit depth of $O(n)$ and uses only $1$ ancilla, making it more efficient in both, circuit depth and width than previous constructions. Our ternary carry lookahead circuit has a circuit depth of only $O(\log\,n)$, while using with $O(n)$ ancillas. Our approach works on two levels of abstraction: at the first level, descriptions of arithmetic circuits are given in terms of gates sequences that use various types of non-Clifford reflections. At the second level, we break down these reflections further by deriving them either from the two-qutrit Clifford gates and the non-Clifford gate $C(X): |i,j angle \mapsto |i, j + δ_{i,2} \mod 3 angle$ or from the two-qutrit Clifford gates and the non-Clifford gate $P_9=\mbox{diag}(e^{-2 π\, i/9},1,e^{2 π\, i/9})$. The two choices of elementary gate sets correspond to two possible mappings onto two different prospective quantum computing architectures which we call the metaplectic and the supermetaplectic basis, respectively. Finally, we develop a method to factor diagonal unitaries using multi-variate polynomial over the ternary finite field which allows to characterize classes of gates that can be implemented exactly over the supermetaplectic basis.

研究の動機と目的

• 三値算術、特にアダーのための効率的な量子回路を設計し、回路の深さと幅の両方を最小限に抑える。
• 三値量子計算のための2つの異なるユニバーサルゲートセット上で、対角ゲートおよび制御位相ゲートの正確な合成を可能にする。
• 特にショアの因数分解のような算術処理が重いアルゴリズムを想定し、古典的可逆回路を三値系にどのように表現できるかを検討する。
• 有限体F3上の多変数多項式を用いた、対角ユニタリの因数分解のためのフレームワークを構築する。
• 三値量子計算における2つのユニバーサルゲートベース（メタプレクティックおよびスーパー・メタプレクティック）の構造的差異とトレードオフを比較・対比する。

提案手法

• 著者らは2段階の抽象化を用いる：まず非クリフォード反射の列として回路を記述し、次にC(X)またはP9ゲートセットからの基本ゲートに分解する。
• F3およびZ上の多項式パラメータ化を用いて、制御制御Zゲート（bigwedge(Z)）および二重制御Zゲート（C2(Z)）の正確な実装を導出することで、スーパー・メタプレクティック基底上での正確な合成を可能にする。
• 主な技術的特徴として、F3上の多変数多項式の指数関数として対角ゲートを表現し、その係数を整数として扱うことで、P9およびクリフォードゲートへの正確な分解を可能にする。
• この手法は、三値有限体の代数的構造を活用し、二次項を高次元のζ9位相に吸収することで、ゲート分解を簡素化する。
• 回路はクリフォードゲート、P9位相回転、および制御インクリメント操作を用いて構築され、bigwedge(Z)およびC2(Z)の明示的な回路図が提供されている。
• このアプローチにより、算術回路に不可欠なbigwedge(Z)やC2(Z)のようなゲートを、9を法とする27本の一次方程式の連立系を解くことで正確に実装可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小限のアスクィラと低回路深さで、効率的な三値量子アダーを構築できるか？
• RQ2 ユニバーサル三値ゲートセット上で、対角ユニタリゲートを正確に合成できるか？
• RQ3 C(X)とP9を非クリフォードリソースとして用いる場合の、三値回路における構造的差異とトレードオフは何か？
• RQ4 F3上の多変数多項式を用いて、対角量子ゲートの体系的な特徴付けと分解が可能か？
• RQ5 加法や比較のような基本的な三値算術演算を実装するための最小リソースコストは何か？

主な発見

• 三値ラッピングアダーは、たった1つのアスクィラでO(n)の回路深さを達成し、深さと幅の両面で先行研究を上回る。
• 三値キャリーオーライクスアダーは、O(n)のアスクィラを犠牲にすることで深さをO(log n)に低減し、より高速な算術演算を可能にする。
• 本稿では、スーパー・メタプレクティック基底上でのbigwedge(Z)ゲートの正確な分解を提供し、9を法とする27本の一次方程式の連立系を解くことで解を得た。
• C2(Z)ゲートの回路も同様の手法で構築され、より高次制御の位相ゲートの正確な合成が実証された。
• この手法により、算術アルゴリズムにとって不可欠なsupermetaplectic基底上でのbigwedge(Z)やC2(Z)の正確な実装が可能となり、重要である。
• このフレームワークにより、三値多項式パラメータ化を用いて、正確に実装可能な対角ゲートのクラス全体を特徴付けられるようになった。