[論文レビュー] Infinite matroids in graphs

Henning Bruhn, Reinhard Diestel|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限の循環とコ循環を許容することで、従来の有限的公理では不可能だった双対性を回復する新しい無限マトロイドの公理化を導入する。この枠組みを無限グラフに適用し、局所的に有限なグラフのサイクルマトロイドが、位相的円周（代数的サイクル）を循環とする双対を持つことを示し、体上の薄い和（thin sums）を用いた表現可能性の十分条件を確立する。

ABSTRACT

It has recently been shown that infinite matroids can be axiomatized in a way that is very similar to finite matroids and permits duality. This was previously thought impossible, since finitary infinite matroids must have non-finitary duals. In this paper we illustrate the new theory by exhibiting its implications for the cycle and bond matroids of infinite graphs. We also describe their algebraic cycle matroids, those whose circuits are the finite cycles and double rays, and determine their duals. Finally, we give a sufficient condition for a matroid to be representable in a sense adapted to infinite matroids. Which graphic matroids are representable in this sense remains an open question.

研究の動機と目的

• 従来の有限的公理（I4）によって妨げられていた、無限マトロイドにおける双対性の長年の問題を解決すること。
• 有限マトロイドの双対性を無限の文脈に拡張するために、非有限的循環とコ循環を許容するようにマトロイド公理を再定義すること。
• 新しい無限マトロイドの枠組みを用いて、無限グラフのサイクルおよびボンドマトロイドを特徴づけること。
• 無限グラフにおける代数的サイクルマトロイド（循環 = 有限サイクルおよび二重無限路）の双対を同定すること。
• 体上の無限和（薄い和）を用いた新しい表現可能性の概念を提案し、それが有効なマトロイドを定義するための十分条件を同定すること。

提案手法

• 双対性を保ちつつ有限マトロイド公理を一般化する修正されたマトロイド公理のセットを採用し、無限の循環とコ循環を許容する。
• グラフの代数的サイクルマトロイドを、有限サイクルおよび二方向無限路（二重無限路）の辺集合を循環とするマトロイドとして定義する。
• フロイントハルトのコンパクト化を用いて、局所的に有限なグラフにおける位相的円周を双対マトロイドの循環として同定する。
• 体上の「薄い和マトロイド」の概念を導入し、双対空間における有限な台を持つ無限線形結合によって独立性を定義する。
• グラフの代数的サイクルマトロイドが 𝔽₂ 上の薄い和マトロイドとして表現可能であることを証明し、この一般化された意味での表現可能性の十分条件を確立する。
• 超限帰納法と閉包の議論を用いて、薄い和表現における基底の構成と閉包性質の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対性を保ちつつ有限的性質を失わずに、無限マトロイドにおける双対性を回復できるか。そのような公理的枠組みはどのようなものか？
• RQ2 循環が無限であることを許容する場合、無限グラフのサイクルマトロイドの双対は何か？
• RQ3 どの無限マトロイドが、体上の無限線形結合（薄い和）を用いて表現可能か？
• RQ4 無限グラフにおける代数的サイクル（有限サイクルおよび二重無限路）は、新しい公理下でマトロイドの循環とどのように関係するか？
• RQ5 薄い和による新しい表現可能性条件は、既知のマトロイド（例えば代数的サイクルマトロイド）をカバーするか。また、ウィットニーの平面性基準のような古典的結果を拡張するために利用可能か？

主な発見

• 新しい公理により、無限マトロイドが双対をもち、かつその双対が再び無限マトロイドであることが可能となり、マトロイド理論における長年の問題が解決された。
• 局所的に有限な無限グラフに対して、サイクルマトロイドの双対は、フロイントハルトコンパクト化における位相的円周の辺集合を循環とするマトロイドである。
• グラフの代数的サイクルマトロイド（循環 = 有限サイクルおよび二重無限路）は、𝔽₂ 上の薄い和マトロイドとして表現可能である。
• 代数的サイクルマトロイドの双対は、無限でもよいボンドの辺集合を循環とするマトロイドとして特徴づけられる。
• マトロイドが薄い和の意味で表現可能であるための十分条件が提示され、これはグラフの代数的サイクルマトロイドや高次元複体のマトロイドを含む。
• ウィットニーの平面性定理が無限グラフへと拡張される：グラフが平面的であることと、そのサイクルマトロイドが新しい枠組み下でグラフ的双対を持つことは同値である。