[論文レビュー] Infinitesimal Theory of Chow Groups via K-theory, Cyclic Homology and the Relative Chern Character

Benjamin F. Dribus, J. William Hoffman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非連結K理論、負の循環ホモロジー、相対チャーン類写像を用いて、チャウ群の無限小理論の形式的枠組みを確立することで、代数幾何学における長年の未解決問題を解決した。無限小厚化された滑らか多様体上のブロッハ＝ゲルステン＝クイレン分解の接続列が、微分形式のコホモロジーと正確に一致することを証明し、ブロッハの公式をより高い余次元に一般化するとともに、グリーンとグリフィスの幾何的アプローチの厳密な基礎を提供した。

ABSTRACT

We examine the tangent groups at the identity, and more generally the formal completions at the identity, of the Chow groups of algebraic cycles on a nonsingular quasiprojective algebraic variety over a field of characteristic zero. We settle a question recently raised by Mark Green and Phillip Griffiths concerning the existence of Bloch-Gersten-Quillen-type resolutions of algebraic K-theory sheaves on infinitesimal thickenings of nonsingular varieties, and the relationships between these sequences and their "tangent sequences," expressed in terms of absolute Kähler differentials. More generally, we place Green and Griffiths' concrete geometric approach to the infinitesimal theory of Chow groups in a natural and formally rigorous structural context, expressed in terms of nonconnective K-theory, negative cyclic homology, and the relative algebraic Chern character

研究の動機と目的

• チャウ群の無限小理論、特に恒等元における接群の形式的で厳密な構造的文脈を提供すること。
• グリーンとグリフィスが提起した、滑らか多様体の無限小厚化上にブロッハ＝ゲルステン＝クイレン型分解が存在するかという問いを解決すること。
• 負の循環ホモロジーと相対チャーン類写像を用いて、K理論層の接続列と絶対Kähler微分形式のコホモロジーとの明確な関係を確立すること。
• 非連結K理論と局所コホモロジーを用いて、ブロッハの公式 $ TCH^2(X) $ をより高い余次元に一般化すること。

提案手法

• 著者たちは、無限小厚化 $ X[\varepsilon] = X \times_{\text{Spec}(k)} \text{Spec}(k[\varepsilon]/(\varepsilon^{j+1})) $ 上の代数的K理論の無限小構造をモデル化するために、Bass-Thomasonの非連結K理論を用いた。
• Weibelの負の循環ホモロジーと相対代数的チャーン類写像を用いて、K理論と微分形式、特に $ \Omega^{\bullet}_{O_{X}/\mathbb{Q}} $ を関連づけた。
• 重要な技術的道具は、局所コホモロジー $ \mathbb{H}^{-m}_{y}(HN(O_{X,y}[\varepsilon], \varepsilon)) $ と微分形式のコホモロジー $ H^j_y(\Omega^{\bullet}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}}) $ を結ぶスペクトル系列である。
• 論文は、$ K^{(i)}_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) $、$ \Omega^{\bullet,(i)}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} $、およびそれらのコホモロジーを結ぶ可換図式（分裂完全系列の系列）を構成した。
• 微分形式の $ \Omega^n_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} $ に対する深さ条件を用いて、非自明なコホモロジーが $ H^j_y $ に制限されることを示し、$ H^j_y(\Omega^{\bullet}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}}) $ と $ HN_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) $ の同定を可能にした。
• 相対チャーン類写像を用いて、$ X[\varepsilon] $ 上のK理論群と微分形式を関連づけ、同型 $ K_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) \cong H^j_y(\Omega^{\bullet}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}}) $ を確立した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らか多様体 $ X $ の無限小厚化 $ X_j $ 上に、最初の写像の核が元の分解の接続列に一致するような、ブロッハ＝ゲルステン＝クイレン型分解が存在するか？
• RQ2 $ p > 2 $ の場合に、接群 $ TCH^p(X) $ が微分形式のコホモロジーで記述可能か、すなわちブロッハの公式を一般化できるか？
• RQ3 相対代数的チャーン類写像と負の循環ホモロジーは、$ X[\varepsilon] $ 上の代数的K理論の無限小構造をどのようにモデル化するか？
• RQ4 相対負の循環複体の局所コホモロジーと、$ X $ 上の微分形式のコホモロジーとの間に、自然な同一視が存在するか？
• RQ5 恒等元におけるチャウ群の形式的完成は、非連結K理論と相対チャーン類写像を用いて記述可能か？

主な発見

• 論文は、$ K_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) \cong H^j_y(\Omega^{\bullet}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}}) $ を確立した。ここで $ \Omega^{\bullet}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} = \Omega^{m+j-1}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} \oplus \Omega^{m+j-3}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} \oplus \cdots $ であり、これは $ y \in X^{(j)} $ における接K理論のコホモロジー的記述を提供する。
• 各 $ i $ に対して、群 $ K^{(i)}_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) $ は $ H^j_y(\Omega^{\bullet,(i)}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}}) $ に同型であり、ここで $ \Omega^{\bullet,(i)}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} $ は $ \frac{m+j}{2} < i \leq m+j $ の範囲でのみ非ゼロであり、その範囲内で $ \Omega^{2i - (m+j) - 1}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} $ が現れる。
• 相対チャーン類写像は、$ K^{(i)}_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) $、$ \Omega^{\bullet,(i)}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} $、およびそれらのコホモロジーを結ぶ可換図式（分裂完全系列の系列）を誘導し、チャーン類写像は $ K^{(i)}_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) \to \Omega^{\bullet,(i)}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}} $ を写像する。
• ブロッハ＝ゲルステン＝クイレン分解 $ \mathcal{G}_0 $ の接続列 $ \underline{\underline{T}}\mathcal{G}_0 $ は、$ \Omega^1_{X/\mathbb{Z}} $ のカウジン分解と同定され、グリーンとグリフィスの幾何的直観を裏付けた。
• 構成により、$ X_1 $ 上での $ \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_0 $ の核が $ \underline{\underline{T}}\mathcal{G}_0 $ に同型であることが確認され、グリーンとグリフィスの問いに肯定的な答えを与えた。
• この枠組みにより、$ TCH^2(X) \cong H^2(X, \Omega^1_{X/\mathbb{Z}}) $ のブロッハの公式が、$ K_m(O_{X,y}[\varepsilon] \text{ on } y[\varepsilon], \varepsilon) \cong H^j_y(\Omega^{\bullet}_{O_{X,y}/\mathbb{Q}}) $ を用いてより高い余次元に自然に一般化された。