[論文レビュー] Instability of spherical naked singularities of a scalar field under isotropic gravitational perturbations

Junbin Li, Jue Liu|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2017

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、球対称でない重力的摂動の下で、アインシュタイン-スカラー場系における球対称な裸の特異点の不安定性を検討する。1つの球対称な光円錐と一般の（非対称な）出射光円錐を持つ特徴的初期値問題を用いて、特異点の近傍に閉じた捕獲面が形成されない初期データの集合が第一級であることを証明し、裸の特異点が一般の非球対称摂動の下で不安定であることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we initiate the study of the instability of naked singularities without symmetries. In a series of papers, Christodoulou proved that naked singularities are not stable in the context of the spherically symmetric Einstein equations coupled with a massless scalar field. We study in this paper the next simplest case: a characteristic initial value problem of this coupled system with the initial data given on two intersecting null cones, the incoming one of which is assumed to be spherically symmetric and singular at its vertex, and the outgoing one of which has no symmetries. It is shown that, arbitrarily fixing the initial scalar field, the set of the initial conformal metrics on the outgoing null cone such that the maximal future development does not have any sequences of closed trapped surfaces approaching the singularity, is of first category in the whole space in which the shear tensors are continuous. Such a set can then be viewed as exceptional, although the exceptionality is weaker than the at least $1$ co-dimensionality in spherical symmetry. Almost equivalently, it is also proved that, arbitrarily fixing an incoming null cone $\underline{C}_\varepsilon$ to the future of the initial incoming null cone, the set of the initial conformal metrics such that the maximal future development has at least one closed trapped surface before $\underline{C}_\varepsilon$, contains an open and dense subset of the whole space. Since the initial scalar field can be chosen such that the singularity is naked if the initial shear is set to be zero, we may say that the spherical naked singularities of a self-gravitating scalar field are not stable under gravitational perturbations. This in particular gives new families of non-spherically symmetric gravitational perturbations different from the original spherically symmetric scalar perturbations given by Christodoulou.

研究の動機と目的

• 球対称な裸の特異点の安定性を、球対称性を超えてアインシュタイン-スカラー場系で調査すること。
• このような特異点が一般の非球対称な重力的摂動の下でも存続するかどうかを特定すること。
• 1つの特異的で球対称な光円錐と1つの一般の出射光円錐を持つ初期データの最大未来発展の構造を分析すること。
• 特異点の近傍で閉じた捕獲面が形成されない初期データの広がりを定量化し、安定性を示すこと。
• クリストドゥロウの球対称な不安定性に関する結果を非対称な摂動へと拡張し、より広い初期データのクラスにおける不安定性を示すこと。

提案手法

• 初期データを2つの交わる光円錐上に設定する特徴的初期値問題を定式化する：1つは入射光円錐（球対称で頂点で特異的）、もう1つは出射光円錐（対称性なし）。
• 初期スカラー場を固定し、出射光円錐上での初期共形計量の空間を、連続なせん断テンソルを有するものとして研究する。
• バーレーのカテゴリー定理を適用し、特異点に近づく閉じた捕獲面の列が形成されない初期データの集合が第一級であることを示す。
• その補集合（特定の未来光円錐より前に少なくとも1つの閉じた捕獲面を形成する初期データ）が開かつ稠密であることを確立する。
• 二重光円錐 foliation におけるアインシュタイン-スカラー場方程式の構造を用いて、捕獲面の形成と特異点の挙動を分析する。
• 結果をクリストドゥロウの球対称な場合と比較し、非対称な摂動が裸の特異点を不安定化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己重力的スカラー場の球対称な裸の特異点は、非球対称な重力的摂動の下で不安定であるか？
• RQ2 非対称な場合において、特異点の近傍で閉じた捕獲面が形成されない初期データの測度論的広がりは何か？
• RQ3 一般の摂動の下で、球対称な場合の裸の特異点の安定性と非対称な場合の安定性はどのように比較できるか？
• RQ4 特定の未来光円錐より前に閉じた捕獲面の形成を保証できる、一般の初期データのクラスは存在するか？
• RQ5 連続なせん断テンソルが、非対称な領域における初期データセットの安定性を特徴付ける役割を果たすか？

主な発見

• 出射光円錐上での初期共形計量の空間において、特異点に近づく閉じた捕獲面の列が形成されないようなものの集合は、連続せん断テンソルの空間において第一級である。
• これは、このような安定な構成が例外的であることを示しており、球対称の場合と同様に、余次元が1以上でなければならない必要はない。
• その補集合（特定の未来光円錐より前に少なくとも1つの閉じた捕獲面を形成する初期データ）は開かつ稠密である。
• したがって、一般の初期データ（位相的意味での）に対しては、与えられた未来光円錐より前に閉じた捕獲面が形成され、裸の特異点の不安定性が示される。
• 初期スカラー場を球対称極限で裸の特異点を生成するように固定した場合でさえ、この不安定性の結果は成り立つ。
• 本論文は、クリストドゥロウの結果を球対称性を超えて、非球対称な重力的摂動の新たなクラスにまで拡張し、不安定性を確立した。