[論文レビュー] Integrability properties of some symmetry reductions

H. Baran, I. S. Krasil’shchik+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、3次元Lax可積分方程式の可積分性特徴が、対称性還元によって2次元系にどのように変化するかを調査する。ZCR（ゼロ曲率表現）を還元することで、Gibbons-Tsarev方程式に類似した非線形微分被覆を構成し、それらを用いて無限個の非局所保存則の階層を生成し、その非自明性を証明する。特に、対称性のための再帰作用素が還元過程で保存されないことを示している。

ABSTRACT

In our recent paper [H. Baran, I.S. Krasil'shchik, O.I. Morozov, P. Voj{č}{á}k, Symmetry reductions and exact solutions of Lax integrable $3$-dimensional systems, Journal of Nonlinear Mathematical Physics, Vol. 21, No. 4 (December 2014), 643--671; arXiv:1407.0246 [nlin.SI], DOI: 10.1080/14029251.2014.975532}], we gave a complete description of symmetry reduction of four Lax-integrable (i.e., possessing a zero-curvature representation with a non-removable parameter) $3$-dimensional equations. Here we study the behavior of the integrability features of the initial equations under the reduction procedure. We show that the ZCRs are transformed to nonlinear differential coverings of the resulting 2D-systems similar to the one found for the Gibbons-Tsarev equation in [A.V. Odesskii, V.V. Sokolov, Non-homogeneous systems of hydrodynamic type possessing Lax representations, arXiv:1206.5230, 2006]. Using these coverings we construct infinite series of (nonlocal) conservation laws and prove their nontriviality. We also show that the recursion operators are not preserved under reductions.

研究の動機と目的

• 3次元Lax可積分PDEの可積分性特徴が、2次元系への対称性還元においてどのように振る舞うかを分析すること。
• 3次元系の還元されたゼロ曲率表現（ZCR）から非線形微分被覆を構成すること。
• 還元された2次元方程式に対して、無限個の非局所保存則の階層を生成し、その非自明性を証明すること。
• 還元手順における対称性の再帰作用素の振る舞いを調査すること。
• 被覆理論を通じて、一般化されたGibbons-Tsarev方程式と可積分3次元系との間の構造的関係を明確にすること。

提案手法

• 特定の対称性を用いて、3つの3次元方程式（ユニバーサル階層、3次元rdDym、Pavlovの方程式）のLax対（ゼロ曲率表現）を還元する。
• 係数が $x, y, u, u_x, u_y$ に依存する形の非線形微分被覆 $ w_x = \frac{a_2 w^2 + a_1 w + a_0}{w^2 + c_1 w + c_0} $, $ w_y = \frac{b_2 w^2 + b_1 w + b_0}{w^2 + c_1 w + c_0} $ を導出する。
• これらの被覆から無限系列の非局所保存則を生成する一般的手法の適用。
• 保存則の非自明性を確認するため、微分被覆理論と変分双複体による非退化性の概念の利用。
• 3次元系における対称性の再帰作用素の分析と、それらが2次元還元方程式に下がることの失敗。
• 対称代数の計算および還元系の構造的性質の検証に、Jetsソフトウェアの使用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元Lax可積分方程式のゼロ曲率表現が、2次元系への対称性還元においてどのように変化するか？
• RQ2 還元された2次元方程式に対して、非線形微分被覆を体系的に構成可能か？ また、それらはGibbons-Tsarev方程式の既知の被覆に類似しているか？
• RQ3 還元された系は無限個の非局所保存則の階層を有するか？ それらの保存則は非自明か？
• RQ4 元の3次元系における対称性の再帰作用素は、還元プロセスを経ても保存されるか？
• RQ5 被覆理論の観点から、還元された2次元方程式と一般化されたGibbons-Tsarev方程式との間の構造的関係は何か？

主な発見

• 3次元方程式のゼロ曲率表現の還元により、係数が $x, y, u, u_x, u_y$ に依存する形の非線形微分被覆 $ w_x = \frac{a_2 w^2 + a_1 w + a_0}{w^2 + c_1 w + c_0} $, $ w_y = \frac{b_2 w^2 + b_1 w + b_0}{w^2 + c_1 w + c_0} $ が得られる。
• これらの被覆は、それぞれの還元された2次元系に対して、無限個の非局所保存則の階層を構築可能である。
• 保存則が変分双複体と関連するコホロロジー類の非退化性を用いて非自明であることが証明された。
• 元の3次元系における対称性の再帰作用素は、還元された2次元方程式に下がることはなく、この可積分性構造が還元によって破壊されることを示している。
• Gibbons-Tsarev方程式やLiouville方程式を含む還元系は、被覆を通じて可積分性特徴を継承するが、再帰作用素を通じては継承しない。
• 本研究は、一般化されたGibbons-Tsarev方程式と3次元可積分系との間の構造的リンクを、共通の微分被覆形式を通じて確認した。