[論文レビュー] Integral models of Harish-Chandra modules of the finite covering groups of PU(1,1)

Takuma Hayashi|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特に $\mathbb{Z}[1/2]$ を含む可換環上で、共通のコhomological induction および実パラボリック誘導を用いて、PU(1,1) の有限被覆群に対するハリシュ・チャンドラ加群の整数的モデルを計算する。$\mathbb{C}[z]$ および $\mathbb{C}[z^{\pm1}]$ 上の自由階数1加群における誘導関手 $I^{\frak{g},K}_{\frak{q},M}$ に対して明示的な公式を確立し、基底変換同型を証明し、誘導加群が整数的のままであるか、あるいは消える条件を同定する。

ABSTRACT

We compute integral models of real and cohomological induction for finite covering groups of PU(1,1).

研究の動機と目的

• 可換環上での PU(1,1) の有限被覆群に対するハリシュ・チャンドラ加群の明示的整数的モデルを計算すること。
• 誘導関手 $I^{\frak{g},K}_{\frak{q},M}$ が $\mathbb{C}[z]$-加群に作用する際、整数的性質と基底変換性質を保つ条件を調査すること。
• $\mathbb{Z}$ 上でのハリシュ・チャンドラ対のスプリット整数的形を構成し、分類すること。
• $\mathbb{C}[z]$ 上で誘導加群が消えるか、自由のままである条件を特定すること。
• この整数的設定において平坦基底変換定理の反例を構成できることを特定し、その限界を明確にすること。

提案手法

• PU(1,1) の被覆群に対して、$\mathbb{Z}$ 上の最大コンパクト部分群としての分離トーラス $T^1$ を用いて、ハリシュ・チャンドラ対の整数的モデルを構成する。
• 自由な $\mathbb{C}[z]$-加群（特に $\mathbb{C}[z]_{n\epsilon,\mu}$）に誘導関手 $I^{\frak{g},K}_{\frak{q},M}$ を適用し、誘導加群を計算する。
• ヘッケ代数の形式的記法と相対ヘッケ代数を用いて、$(\frak{g},K)$-加群を概ね単位的代数の加群として扱う。
• 拡張スカラーによる $\mathbb{C}[z]$ から $\mathbb{C}[z^{\pm1}]$ への変換を用いて、整数的モデルと有理的モデルを関連付ける基底変換同型を用いる。
• 導来関手の明示的計算のため、標準的射影的／インジェクティブな分解を構成するためにコシュール複体を用いる。
• 収縮族構成を用いて、$\mathbb{Z}[z]$-ファミリーのハリシュ・チャンドラ対の異なるレベルを、同型 $\Phi$ を通じて関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 誘導関手 $I^{\frak{g},K}_{\frak{q},M}$ が $\mathbb{C}[z]$-加群に作用する際、整数的性質を保つ条件は何か？
• RQ2 誘導加群 $I^{\frak{g},K}_{\frak{q},M}(\mathbb{C}[z]_{n\epsilon,\mu})$ が $\mathbb{C}[z^{\pm1}]$ への基底変換と同型であるのはいつか？
• RQ3 どの $\mu \in \mathbb{C}[z]$ に対して誘導加群が消え、またいつそれが一般に既約になるか？
• RQ4 この整数的設定において、平坦基底変換定理の反例を構成できるか？
• RQ5 PU(1,1) の被覆群に対するハリシュ・チャンドラ対のスプリット整数的形は、収縮族構成とどのように関係するか？

主な発見

• $\mu \in \mathbb{C}[z] \setminus z\mathbb{C}[z]$ のとき、誘導加群 $I^{\frak{sl}_2,T^1}_{\frak{q},M_{\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[z^{\pm1}]}(\mathbb{C}[z^{\pm1}]_{n\epsilon,\mu})$ は $\mathbb{C}[z]$-加群として $\oplus_{p\in\mathbb{Z}} \mathbb{C}[z]w^{n(p+\epsilon)}$ に同型である。
• $\mu \in z\mathbb{C}[z]$ のとき、基底変換同型 $I^{\frak{sl}_2,T^1}_{\frak{q},M_{\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[z]}(\mathbb{C}[z]_{n\epsilon,\mu}) \otimes_{\mathbb{C}[z]} \mathbb{C}[z^{\pm1}] \cong I^{\frak{sl}_2,T^1}_{\frak{q},M_{\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[z^{\pm1}]}(\mathbb{C}[z^{\pm1}]_{n\epsilon,\mu})$ が成り立つ。[10] 定理 3.1.7 の条件を必要としない。
• 誘導加群は $\mu \in \mathbb{C}[z] \setminus z\mathbb{C}[z]$、つまり $\mu$ が非ゼロ定数である場合に消える。
• 誘導加群 $I^{\frak{sl}_2,T^1}_{\frak{q},M_{\mathbb{C}}\otimes_{\mathbb{C}}\mathbb{C}[z^{\pm1}]}(\mathbb{C}[z^{\pm1}]_{n\epsilon,\mu})$ がその共役と同型であるのは、$\mu \in \mathbb{C}[z^{\pm1}]$ のときに限る。
• この加群は $\overline{\mathbb{C}(z)}$ 上で一般に既約であるのは、$\mu \notin 2z\mathbb{Z} \pm 2z\epsilon$ のときに限る。
• $\frak{q}$ の収縮族と同型 $\Phi$ を通じた構成により、定理 6.2(1) と定理 5.10 を同一視でき、$\mathbb{Z}[z]$-ファミリーを用いて高次の被覆群への一般化が可能になる。