[論文レビュー] Integral Transforms and Deformations of K3 Surfaces

Eyal Markman, Sukhendu Mehrotra|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、$K3$曲面$X$上の安定層のモジュライ空間$M$を用いて$X \times M$上の普遍層$\mathscr{U}$に関連する積分変換$Φ_{\mathscr{U}}: D^b(X) \to D^b(M,\theta)$が、$\dim M \geq 4$のとき忠実ではあるが全射ではないことを確立する。画像カテゴリは、ムカイベクトル$v$に関連する合同関係によって$D^b(X)$から作られるカテゴリの商として構成され、さらに、$X^{[n]}$と変形同値な非分解的ホロモルフィックシンプレクティック多様体のモジュライ空間$\mathfrak{M}^0$のザリスキ・余密な開部分集合上で、$D^b(X)$の幾何的変形が導入される。この変形は、$M$が技術的条件を満たす層のモジュライ空間であるとき$D^b(X)$を回復する。

ABSTRACT

Let X be a K3 surface and M a smooth and projective moduli space of stable sheaves on X of Mukai vector v. A universal sheaf U over X x M induces an integral transform F from the derived category D(X) of coherent sheaves on X to that on M. (1) We prove that the integral transform F is faithful. F is not full if the dimension of M is greater than 2. (2) We exhibit the full subcategory of D(M), consisting of objects in the image of F, as the quotient of a category, explicitly constructed from D(X), by a natural congruence relation defined in terms of the Mukai vector v. (3) Let C be a component of the moduli space of isomorphism classes of marked irreducible holomorphic symplectic manifolds deformation equivalent to the Hilbert scheme X^[n] of n points on a K3 surface X, n > 1. C is 21-dimensional, while the moduli of Kahler K3 surfaces is 20-dimensional. We construct a geometric deformation of the derived categories of K3 surfaces over a Zariski dense open subset of C, which coincides with D(X) whenever the marked manifold is a moduli space of sheaves on X satisfying a technical condition.

研究の動機と目的

• モジュライ空間$M$が$K3$曲面$X$上の安定層のものであるとき、$\Phi_{\mathscr{U}}: D^b(X) \to D^b(M,\theta)$の画像の構造を理解すること。
• 画像に属する$D^b(M,\theta)$のフルな部分カテゴリが、ムカイベクトル$v$によって定義される合同関係を用いて$D^b(X)$から構成されたカテゴリの商として特徴づけられることを示すこと。
• $X^{[n]}$と変形同値な非分解的ホロモルフィックシンプレクティック多様体のモジュライ空間$\mathfrak{M}^0$のザリスキ・余密な開部分集合上で、$D^b(X)$の幾何的変形を構成し、非可換およびゲルビー変形を一般化すること。
• ムカイ格子上の変形されたホッジ構造とホッジ・ホモロジーおよび数値的$K$-群との関係を明らかにし、ムカイベクトル$v$のホッジ型を保存すること。

提案手法

• $\mathscr{U}$を$X \times M$上の準普遍層とするとき、$D^b(X)$から$M$上の$\theta$--twisted層の導来カテゴリへの積分変換$\Phi_{\mathscr{U}}(\_):= \pi_{M,*}(\pi_X^*(\_ \otimes \mathscr{U}))$を用いる。
• $\Psi_{\mathscr{U}} \circ \Phi_{\mathscr{U}}$の核として$D^b(X \times X)$におけるモノイド$\mathscr{A}$を構成し、これにより$\Phi_{\mathscr{U}}$によって誘導される$D^b(X)$上の自己函手を記述する。
• ムカイベクトル$v$を用いて$D^b(X)$から作られたカテゴリ上の合同関係を定義し、$\Phi_{\mathscr{U}}$の画像がこの関係による商カテゴリに同型であることを示す。
• $D^b(M,\theta)$上のコモノイド$\mathbb{L}$の構造を導入し、そのコモジュールのカテゴリが$\Phi_{\mathscr{U}}$の画像を実現する。さらに、このコモノイドが単純かつ剛性を持つことを証明する。
• $\mathfrak{M}^0$のザリスキ・余密な開部分集合上で、コモノイド$\mathbb{L}$を変形することにより$D^b(X)$の幾何的変形を構成し、$v$のホッジ型を保存する。
• コンジェクチャーポイント1.6（twistor変形における反射的ホロモルフィック層の第一ホッジコホモロジーの定数性）に依存しており、これはホロモルフィックベクトル束に対しては既知である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積分変換$\Phi_{\mathscr{U}}: D^b(X) \to D^b(M,\theta)$は忠実であるか？また、いつ全射となるか？
• RQ2 $D^b(M,\theta)$に属する$\Phi_{\mathscr{U}}$の画像に属するオブジェクトのフルな部分カテゴリは、ムカイベクトル$v$に関連する合同関係によって$D^b(X)$から構成されたカテゴリの商として記述可能か？
• RQ3 $\mathfrak{M}^0$のザリスキ・余密な開部分集合上で、$D^b(X)$の幾何的変形が存在するか？その変形は、$M$が$X$上の層のモジュライ空間で技術的条件を満たすとき$D^b(X)$を回復するか？
• RQ4 このような族に沿って、$X$のムカイ格子上のホッジ構造はどのように変形するか？また、ムカイベクトル$v$はホッジ型$(1,1)$をどのように保存するか？
• RQ5 変形されたカテゴリのホッジ・ホモロジーと変形されたムカイ格子との関係は何か？また、数値的$K$-群は$v$の直交補空間とどのように関係するか？

主な発見

• 定理2.2により、$\dim M \geq 4$のとき、積分変換$\Phi_{\mathscr{U}}: D^b(X) \to D^b(M,\theta)$は忠実であるが全射ではない。
• 定理3.4により、$D^b(M,\theta)$に属する$\Phi_{\mathscr{U}}$の画像に属するオブジェクトのフルな部分カテゴリは、ムカイベクトル$v$によって定義される合同関係を用いて$D^b(X)$から作られたカテゴリの商に同型である。
• $\Psi_{\mathscr{U}} \circ \Phi_{\mathscr{U}}$の核$\mathscr{A}$から構成されたコモノイド$\mathbb{L}$のコモジュールのカテゴリとして、画像カテゴリが実現され、このコモノイドは単純かつ剛性を持つことが示された。
• $X^{[n]}$と変形同値な非分解的ホロモルフィックシンプレクティック多様体のモジュライ空間$\mathfrak{M}^0$のザリスキ・余密な開部分集合上で、$D^b(X)$の幾何的変形が構成され、マークされた多様体が$X$上の層のモジュライ空間で技術的条件を満たすとき、この変形は$D^b(X)$を正確に回復する。
• 変形はムカイベクトル$v$のホッジ型$(1,1)$を保存し、ムカイ格子における$v$の直交補空間は$H^2(M,\mathbb{Z})$と等長であることが、定理1.9および第8節の議論により示された。
• 変形されたムカイ格子上のホッジ構造は、コモジュールのカテゴリのホッジ・ホモロジーと関係し、タイプ$(1,1)$の部分格子は変形カテゴリの数値的$K$-群に対応する。これはトーダのカテゴリとの比較および[Ma4]の結果により支持されている。