[論文レビュー] Interpolation function of the genocchi type polynomials

Burak Kurt, Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 27被引用数 36

ひとこと要約

本稿では、3つの正の実数 a, b, c でパラメータ化された、Genocchi型多項式および数の新しいクラスを導入し、Lerch zeta関数を用いてその母関数と補間関数を構成する。主な貢献は、古典的Genocchi数を一般化し、特殊zeta関数と関連付ける補間関数の導出であり、交項和や関数方程式への応用を含む。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to construct not only generating functions of the new approach Genocchi type numbers and polynomials but also interpolation function of these numbers and polynomials which are related to a, b, c arbitrary positive real parameters. We prove multiplication theorem of these polynomials. Furthermore, we give some identities and applications associated with these numbers, polynomials and their interpolation functions.

研究の動機と目的

• 3つの任意の正の実数パラメータ a, b, c を用いて、Genocchi型数および多項式の新しいクラスを定義すること。
• これらの一般化されたGenocchi数および多項式の母関数を構築すること。
• Lerch zeta関数を用いて、一般化されたGenocchi数および多項式の補間関数を開発すること。
• 関数関係、特に乗法定理を含む関係式を確立し、これらの数に関する恒等式を導出すること。
• 補間関数が既知の特殊関数（HurwitzおよびLerch zeta関数）および交項zeta関数（Dirichlet eta関数）とどのように関連するかを示すこと。

提案手法

• Genocchi型数の母関数を $ F(t;a,b) = \frac{2t}{b^t + a^t} = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{G}_n(a,b) \frac{t^n}{n!} $ として定義し、$ |t| < \frac{\pi}{|\ln a - \ln b|} $ の範囲で有効であることを示す。
• ウムブラ記法および母関数を用いて、$ \mathcal{G}_n(a,b) $ の再帰的関係を導出する。この関係には a および b の対数項が含まれる。
• 閉形式表現 $ \mathcal{G}_n(a,b) = (\ln b - \ln a)^{n-1} G_n\left( \frac{\ln a}{\ln a - \ln b} \right) $ を確立し、古典的Genocchi多項式と関連付ける。
• 補間関数 $ \mathfrak{Z}_{\mathcal{G}}(s,x;a,b,c) = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(x + n \ln c / \ln b)^s} $ を定義し、これはLerch zeta関数を一般化する。
• 母関数に対して微分作用素 $ \frac{d^k}{dt^k} \big|_{t=0} $ を適用し、補間関数を構築する。
• 補間関数と既知の特殊関数（Hurwitz zeta関数、Dirichlet eta関数、多対数関数）との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3つの任意の正の実数パラメータ a, b, c を用いて、Genocchi型数および多項式をどのように一般化できるか？
• RQ2 これらの一般化されたGenocchi数の補間関数の関数的形は何か？ また、特殊zeta関数とどのように関連するか？
• RQ3 これらの一般化された多項式に成り立つ恒等式および関数方程式（例えば乗法定理）は何か？
• RQ4 補間関数は古典的Lerch zeta関数およびHurwitzやDirichlet zeta関数などの他の特殊関数とどのように関連するか？
• RQ5 補間関数を用いて、連続する整数のべき乗の交項和を表現できるか？

主な発見

• 正の整数 n に対して、$ \mathcal{Z}_{\mathcal{G}}(-n,1;a,b,1) = \frac{\mathcal{G}_n(a,b)}{n} $ を満たすことが示された。
• $ \mathfrak{Z}_{\mathcal{G}}(s,x;1,e,e) $ は $ -2\Phi(-1,s,x) $ に一致し、これにより交項zeta関数（Dirichlet eta関数）と関連づけられる。
• a=1, b=c=e とすると、補間関数は $ \mathcal{Z}_{\mathcal{G}}(s,1;1,e,e) = -2\zeta^*(s) $ に簡略化され、これはDirichlet eta関数の負の形である。
• 一般化されたGenocchi多項式に対して乗法定理が証明され、古典的結果が拡張された。
• 一般化されたGenocchi数 $ \mathcal{G}_n(a,b) $ は、$ \mathcal{G}_n(a,b) = (\ln b - \ln a)^{n-1} G_n\left( \frac{\ln a}{\ln a - \ln b} \right) $ を用いて古典的Genocchi数で表現可能である。
• 補間関数が単位根の和を含む関数方程式を満たすことが示され、補題16が得られた：奇数の整数 y に対して $ \mathcal{Z}_{\mathcal{G}}(s,1;a,b,1) = \frac{1}{y^s} \sum_{j=1}^y (-1)^j \mathfrak{Z}_{\mathcal{G}}\left(s,1;a,b,\frac{b^{j/y}}{a^{(y+j-1)/y}}\right) $ が成り立つ。