[論文レビュー] Note on the Euler Numbers and Polynomials

Taekyun Kim|ArXiv.org|Aug 13, 2008

Advanced Mathematical Identities参考文献 24被引用数 57

ひとこと要約

本稿は、フーリエ解析を用いてオイラー数およびオイラー多項式を調査し、オイラー関数のフーリエ変換を用いて無限級数表現を導出する。主な結果として、オイラー数と第二種スターリング数の間の新しい恒等式を確立する：$ E_m = 2\scriptstyle\binom{m}{n} (-1)^n n! s_2(m,n) $。この恒等式は、ゼータ関数に類似した級数や、奇数次のリーマンゼータ関数の特殊値への応用を伴う。

ABSTRACT

In this paper we investigate the properties of the Euler functions. By using the Fourier transform for the Euler function, we derive the interesting formula related to the infinite series. Finally we give some interesting identities between the Euler numbers and the second kind stirling numbers.

研究の動機と目的

• フーリエ解析を用いてオイラー関数の解析的性質を調査すること。
• 区間 [0,1) におけるオイラー多項式のフーリエ級数展開を導出すること。
• オイラー数と第二種スターリング数の間の関係を確立すること。
• オイラー数とゼータ関数に類似した和を含む新しい無限級数恒等式を導出すること。

提案手法

• 区間 $[0,1)$ 上のオイラー関数 $ E_m(x) $ にフーリエ変換を適用し、奇数調波 $ e^{(2n+1)\tilde{\pi}ix} $ の級数として表現する。
• 部分積分を用いてフーリエ係数 $ a_n^{(m)} $ の再帰的関係を導出し、低次の係数に還元する。
• 積分により $ x - 1/2 $ の基底係数 $ a_n^{(1)} $ を明示的に計算し、$ a_n^{(1)} = 2/((2n+1)^2\pi^2 i^2) $ を得る。
• 再帰関係を繰り返し解き、$ a_n^{(m)} $ を $ 2m! / ((2n+1)\pi i)^{m+1} $ として表現し、$ E_m(x) $ のフーリエ級数を得る。
• 級数を $ x=1 $ で評価し、既知の恒等式 $ E_m(1) = -E_m $ を用いて、奇数整数への和を導出する。
• 二通りの方法で $ 1/(1+e^{-x}) $ の級数展開を比較する：母関数を用いた方法と、スターリング数を含む指数型母関数を用いた方法。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オイラー関数のフーリエ変換を用いて、オイラー多項式およびオイラー数の無限級数表現を導出する方法は何か？
• RQ2 母関数を通じて、オイラー数と第二種スターリング数の間の関係は何か？
• RQ3 オイラー多項式 $ E_m(x) $ のフーリエ展開は、ゼータ関数や $ \zeta(2m+2) $ の特殊値に関連する新しい恒等式を導くことができるか？
• RQ4 フーリエ係数 $ a_n^{(m)} $ の閉形式は何か？ また、それらはオイラー数とどのように関係するか？
• RQ5 母関数 $ \frac{1}{1+e^{-x}} $ は、オイラー数と第二種スターリング数の第二種スターリング数とどのように関連するか？

主な発見

• 区間 $[0,1)$ におけるオイラー関数 $ E_m(x) $ のフーリエ級数展開は、$ E_m(x) = m! \cdot 2 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{e^{(2n+1)\pi i x}}{((2n+1)\pi i)^{m+1}} $ で与えられる。
• $ x=1 $ で評価すると、$ E_m = m! \cdot 2 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{((2n+1)\pi i)^{m+1}} $ という恒等式が得られ、オイラー数が奇数の逆数の累乗に関連することが示される。
• 奇数添え字の場合、$ E_{2m+1} = (-1)^{m+1} \cdot 2 \cdot \frac{(2m+1)!}{\pi^{2m+2}} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^{2m+2}} $ が成り立ち、オイラー数がゼータ関数に類似した和と関連することが示される。
• 和 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^{2m+2}} = (-1)^{m+1} \frac{E_{2m+1}}{4(2m+1)!} \pi^{2m+2} $ が導出され、これは偶数次のリーマンゼータ関数の特殊値と直接的な関係を持つことが示される。
• 新しい恒等式が確立された：$ E_m = 2 \sum_{n=0}^{m} (-1)^n n! \cdot s_2(m,n) $、ここで $ s_2(m,n) $ は第二種スターリング数である。
• 母関数 $ \frac{1}{1+e^{-x}} $ を二通りの方法で展開し、係数の恒等式 $ E_m = 2 \sum_{n=0}^{m} (-1)^n n! s_2(m,n) $ を得た。これにより、オイラー数とスターリング数の間の関係が裏付けられた。