[論文レビュー] Inverse Problem for Fractional-Laplacian with Lower Order Non-local Perturbations

Sombuddha Bhattacharyya, Tuhin Ghosh+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 29被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、下位の非局所的摂動を伴う分数ラプラシアン作用素に対する逆問題を研究しており、グローバルおよび地域的な分数ラプラシアンを組み合わせている。Runge近似およびディリクレからノイマン写像に由来する積分恒等式を用いて、1つの外部測定からの非局所係数 $ b $ とポテンシャル $ q $ の両方の同定の一意性を確立している。

ABSTRACT

In this article, we study a model problem featuring a Lévy process in a domain with semi-transparent boundary by considering the following perturbed fractional Laplacian operator \[\mathscr{L}_{b,q} := (-Δ)^t + (-Δ)_Ω^{s/2} \ b (-Δ)_Ω^{s/2} + q, \quad 0

研究の動機と目的

• 有界領域における半透明境界を有するLévy過程を、非局所摂動を伴う分数ラプラシアンを用いてモデル化すること。
• 作用素 $ \mathscr{L}_{b,q} $ に対する直接問題の適切な定式化および定性的性質の確立。
• 外部コーシー・データから係数 $ b $ と $ q $ を回復する逆問題の調査。
• Runge型近似および積分恒等式を用いて、1つの測定からの $ b $ と $ q $ の両方の回復の一意性の証明。

提案手法

• グローバルおよび地域的な非局所性を組み合わせた作用素 $ \mathscr{L}_{b,q} = (-\Delta)^t + b(-\Delta)^{s/2}_\Omega + q $ を定式化し、$ 0 < s < t < 1 $ を満たす。
• 領域 $ \Omega $ における $ \mathscr{L}_{b,q}u = 0 $ のディリクレ外部値問題を定式化し、$ u = f $ で $ \mathbb{R}^n \setminus \overline{\Omega} $ に、$ f \in \widetilde{H}^t(\Omega_e) $ を満たす。
• 外部領域の開部分集合 $ \widetilde{W} \subset \Omega_e $ におけるノイマンデータを用いて、係数の差 $ b_1 - b_2 $ と $ q_1 - q_2 $、および解 $ u_f $ を含む積分恒等式を導出する。
• Runge型近似を適用して、$ (-\Delta)^{s/2}_\Omega u_f $ と $ u_f $ が $ L^2(\mathcal{O}) $ で稠密であることを示す。ここで $ \mathcal{O} \Subset \Omega $ は $ b_k, q_k $ の台を含む。
• 地域的分数ラプラシアンの核空間における $ C_c^\infty(\Omega) $ の稠密性を用いて、$ \Omega $ 内で $ (q_1 - q_2)u_f = 0 $ および $ (b_1 - b_2)(-\Delta)^{s/2}_\Omega u_f = 0 $ を導出する。
• 一意的拡張および台が互いに交わらないことの議論を用いて、1つの外部測定からの結果として $ \Omega $ 内で $ b_1 = b_2 $ および $ q_1 = q_2 $ を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部測定からのコーシー・データの1つから、非局所係数 $ b $ とポテンシャル $ q $ は一意に回復可能か？
• RQ2 グローバルおよび地域的分数ラプラシアンの組み合わせは、逆問題設定においてRunge型近似を可能にするか？
• RQ3 地域的分数ラプラシアン $ (-\Delta)^{s/2}_\Omega $ は、係数回復を可能にする役割を果たすか？
• RQ4 非局所係数 $ b $ によってモデル化される半透明境界条件は、逆問題構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 $ b $ と $ q $ がともに未知である場合、1つの測定で逆問題が解けるか？

主な発見

• 作用素 $ \mathscr{L}_{b,q} $ に対する逆問題は一意に解かれる：外部領域の開部分集合でノイマンデータが一致する限り、$ \Omega $ 内で $ b_1 = b_2 $ および $ q_1 = q_2 $ が成り立つ。
• ディリクレ問題の解 $ u_f $ は、すべての $ f \in C_c^\infty(W) $ に対して $ \Omega $ 内で $ (q_1 - q_2)u_f = 0 $ および $ (b_1 - b_2)(-\Delta)^{s/2}_\Omega u_f = 0 $ を満たす。
• $ L^2(\mathcal{O}) $ 内での $ (-\Delta)^{s/2}_\Omega u_f $ の稠密性とRunge近似を組み合わせることで、$ \Omega $ 内で $ b_1 = b_2 $ が導かれる。
• 同様の条件下で $ u_f $ の $ L^2(\mathcal{O}) $ 内での稠密性から、$ \Omega $ 内で $ q_1 = q_2 $ が導かれる。
• $ b_1 - b_2 $ と $ q_1 - q_2 $ の台が互いに交わらず、かつ補集合にもならないことから、非ゼロであると矛盾が生じるため、両者とも必ずゼロでなければならない。
• 証明は一意的拡張および、$ (-\Delta)^{s/2}_\Omega v = 0 $ かつ境界でトレースがゼロである領域で $ v \equiv 0 $ となる事実に依存しており、一意性を保証する。