[論文レビュー] The Calder\'on problem for the fractional Schr\"odinger equation with drift.

Mihajlo Cekić, Yi‐Hsuan Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 34被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ドリフト付き分数級カレドロン問題の初の一意性および安定性結果を確立し、外部測定値からドリフトおよびポテンシャルを一意的かつ安定的に再構成できることを証明している。局所的（s=1）の場合とは異なり、非局所的問題はゲージ不変性を欠くため、係数の完全な回復が可能であり、特異性理論とランゲ近似を用いて、有限測定値による再構成アルゴリズムが構築されている。

ABSTRACT

We investigate the Calder\'on problem for the fractional Schr\"odinger equation with drift, proving that the unknown drift and potential in a bounded domain can be determined simultaneously and uniquely by an infinite number of exterior measurements. In particular, in contrast to its local analogue, this nonlocal problem does \emph{not} enjoy a gauge invariance. The uniqueness result is complemented by an associated logarithmic stability estimate under suitable apriori assumptions. Also uniqueness under finitely many \emph{generic} measurements is discussed. Here the genericity is obtained through \emph{singularity theory} which might also be interesting in the context of hybrid inverse problems. Combined with the results from \cite{GRSU18}, this yields a finite measurements constructive reconstruction algorithm for the fractional Calder\'on problem with drift. The inverse problem is formulated as a partial data type nonlocal problem and it is considered in any dimension $n\geq 1$.

研究の動機と目的

• ドリフト付き分数級シュレーディンガー方程式におけるドリフトおよびポテンシャル係数を境界測定値から逆問題として回復すること。
• 局所的（s=1）の場合に存在するゲージ不変性の障害を克服し、非局所的カレドロン問題における一意性および安定性を確立すること。
• 任意の次元 n ≥ 1 において適用可能な、ドリフト付き分数級カレドロン問題の有限測定値再構成アルゴリズムを開発すること。
• 特異性理論、特にウィットニーの行列の核のランクに関する結果を用いて、有限回の測定値による一般的一意性を証明すること。
• ランゲ近似および定量的ユニーク続行を活用して、部分データ逆問題の枠組みを非局所設定に拡張すること。

提案手法

• 有界リプシッツ領域におけるドリフト付き分数級シュレーディンガー方程式の部分データ問題として逆問題を定式化する。
• 分数級ソボレフ空間およびトレース定理を用いて、外部値問題の適切性を確立する。
• ドリフト付き分数級シュレーディンガー方程式の解に対してランゲ型近似性質を証明する。
• 定量的ユニーク続行推定を用いて、係数の事前有界性仮定の下で対数的安定性評価を導出する。
• 特異性理論（ヤコビ行列の核のランクに関するウィットニーの結果）を適用し、一般に非ゼロの行列式を持つ測定値集合が係数の一意的決定を保証することを示す。
• 高次近似技術と特異性理論から導かれる非ゼロ行列式の一般性を組み合わせることで、有限測定値再構成アルゴリズムを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフト付き分数級シュレーディンガー方程式におけるドリフトおよびポテンシャルは、外部測定値から一意に回復可能か？
• RQ2 非局所的設定ではゲージ不変性が欠如するため、局所的ケースとは異なり、係数の完全な回復が可能か？
• RQ3 有限回の一般的な外部測定値が、ドリフトおよびポテンシャル係数を一意に決定可能か？
• RQ4 係数の事前有界性仮定の下で、逆問題に対してどのような安定性評価を確立できるか？
• RQ5 特異性理論は、非局所逆問題における有限測定値の一般的一意性を証明するためにどのように応用可能か？

主な発見

• ドリフト付き分数級カレドロン問題は、局所的ケースとは異なり、ドリフトおよびポテンシャル係数の両方を一意に回復可能である。
• 本稿では、係数に適切な事前有界性を仮定した下で、逆問題に対する対数的安定性評価を証明している。
• 高次近似および特異性理論から導かれる非ゼロ行列式の一般性に依拠する有限測定値再構成アルゴリズムが構築されている。
• ウィットニーの核のランク理論を用いて、有限回の測定値における一般的一意性が確立され、不良な測定設定の集合の余次元が少なくとも n+1 であることが示された。
• ランゲ近似性質がドリフト付き分数級シュレーディンガー方程式に拡張され、エネルギー空間における解の稠密近似が可能になった。
• 結果は任意の次元 n ≥ 1 で有効であり、外部測定値のみを用いた部分データ問題に対しても適用可能である。