[论文解读] Inverse semigroup expansions and their actions on C*-algebras

Alcides Buss, Ruy Exel|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一个关于逆半群 G 的前缀扩张 Pr(G) 的生成元与关系描述，表明其控制 G 的部分作用与表示。本文建立了 G 上的费尔 bundles 与 Pr(G) 上的饱和费尔 bundles 之间的典范等价关系，证明了 G 和 Pr(G) 上的交叉积是同构的，从而通过 Pr(G) 统一了扭曲的部分作用与全局作用。

ABSTRACT

In this work, we give a presentation of the prefix expansion Pr(G) of an inverse semigroup G as recently introduced by Lawson, Margolis and Steinberg which is similar to the universal inverse semigroup defined by the second named author in case G is a group. The inverse semigroup Pr(G) classifies the partial actions of G on spaces. We extend this result and prove that Fell bundles over G correspond bijectively to saturated Fell bundles over Pr(G). In particular, this shows that twisted partial actions of G (on C*-algebras) correspond to twisted (global) actions of Pr(G). Furthermore, we show that this correspondence preserves C*-algebras crossed products.

研究动机与目标

• 提供逆半群 G 的前缀扩张 Pr(G) 的另一种生成元与关系表示，强调其在分类部分表示中的作用。
• 通过回答开放问题（如 Pr(Pr(G)) 的行为以及当 G 有限时 Pr(G) 的基数）来澄清 Pr(G) 的结构。
• 在具有部分同态的逆半群范畴与逆半群范畴之间建立范畴伴随关系，证明 Pr(G) 是遗忘函子的左伴随。
• 通过扩张 Pr(G) 将费尔 bundles 与交叉积之间的对应关系从全局作用扩展到部分作用与扭曲作用。
• 证明在 G 的部分（扭曲）作用下 C*-代数的全交叉积与约化交叉积，同构于在 Pr(G) 的对应全局（扭曲）作用下的交叉积。

提出的方法

• 通过为每个 s ∈ G 定义生成元 [s] 并给出关系：[s][t][t*] = [st][t*]，[s*][s][t] = [s*][st]，以及 [s][s*][s] = [s]，定义 Pr(G)，确保其为一个逆半群。
• 证明幂等元 ε_t = [t][t*] 互相交换，并满足 [t]ε_s = ε_{ts}[t]，这些关系对 Pr(G) 的普遍性质至关重要。
• 构造一个从具有部分同态的逆半群范畴到逆半群范畴的函子，证明 G ↦ Pr(G) 是遗忘函子的左伴随。
• 通过纤维的典范扩张与部分等距，建立 G 上的正则费尔 bundles 与 Pr(G) 上的正则费尔 bundles 之间的双射对应。
• 通过满足涉及投影与部分等距关系的单位元族，定义 C*-代数上的扭曲部分作用，并证明其与正则费尔 bundles 对应。
• 证明 G 上费尔 bundle 的截面 C*-代数同构于其在 Pr(G) 上的扩张的截面代数，且全交叉积与约化交叉积均被保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过生成元与关系独立于原始构造来描述逆半群 G 的前缀扩张 Pr(G)？
• RQ2 Pr(G) 在部分同态与逆半群之间的范畴角色是什么？
• RQ3 G 上的费尔 bundles 与 Pr(G) 上的饱和费尔 bundles 之间有何关系？该对应是否为函子性？
• RQ4 G 的部分（扭曲）作用下的交叉积是否与 Pr(G) 的全局（扭曲）作用下的交叉积一致？
• RQ5 Pr(G) 在迭代下表现如何？例如，Pr(Pr(G)) 是什么？当 G 有限时，其大小与 G 相比如何？

主要发现

• 前缀扩张 Pr(G) 可通过生成元 [s]（s ∈ G）与三条关系来表示，这将其刻画为控制 G 的部分表示的普遍逆半群。
• 映射 G ↦ Pr(G) 是从具有部分同态的逆半群范畴到逆半群范畴的左伴随函子。
• G 上的费尔 bundles 与 Pr(G) 上的饱和费尔 bundles 之间存在典范的、函子性的、双射的对应关系，且保持相关的 C*-代数。
• 在 G 的部分（扭曲）作用下 C*-代数的全交叉积与约化交叉积，同构于在 Pr(G) 的对应全局（扭曲）作用下的交叉积。
• 对于任意正则费尔 bundle (A, u) 在 G 上，其在 Pr(G) 上的诱导 bundle 也是正则的，且相关的部分等距可典范地延拓至 Pr(G)。
• 扭曲部分作用 (β, ω) 与正则费尔 bundle (A, u) 之间的对应是双射的，且相关的交叉积满足 B ⋊_β,ω G ≅ C*(A) 与 B ⋊_β,ω^r G ≅ C*_r(A)。