[論文レビュー] Inverse Systems of Zero-dimensional Schemes in P^n

Young Hyun Cho, Anthony Iarrobino|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、射影n次元空間内のゼロ次元的スキームの局所的逆系を同次化することにより、そのグローバルMacaulay逆系を構成する。局所的にGorensteinなスキームに対して、ある不変量β(𝑍)より大きい次数の一般形式が一意的にスキームを決定することを確立し、ソクル次数が大きい場合にGorenstein Artin商のヒルベルト関数が自然な上界に達することを証明する。

ABSTRACT

The authors construct the global Macaulay inverse system for a zero-dimensional subscheme Z of projective n-space P^n, from the local inverse systems of the irreducible components of Z. They show that when Z is locally Gorenstein a generic homogeneous form F of degree d apolar to Z determines Z when d is larger than an invariant b(Z). They also show that a natural upper bound for the Hiilbert function of Gorenstein Artin quotient of the coordinate ring is achieved for large socle degree. They show the uniqueness of generalized additive decompositions of a homogeneous form F into powers of linear forms, under suitable hypotheses. They include many examples.

研究の動機と目的

• ゼロ次元的スキーム 𝔻 ⊂ ℙⁿ のグローバルMacaulay逆系 𝐿_𝔇 を、その既約成分の局所的逆系から構成する方法を開発すること。
• 十分に高い次数 𝑑 > 𝛽(𝔻) の一般形式 𝐹 がアポラリー性により 𝔻 を一意に決定する条件を特定すること。
• ソクル次数が大きい場合に、𝔻 のGorenstein Artin商のヒルベルト関数が自然な上界に達することを確立すること。
• 適切な仮定の下で、斉次形式が一次形式のべきへの一般化された加法的分解（GAD）が一意であることを証明すること。
• 局所的逆系の同次化を用いて、グローバル逆系 𝐿_𝔇 の生成元をアルゴリズム的に構成すること。

提案手法

• 定義2.4で定義された座標に依存しない手続きを用いて、𝔇 の各既約成分 𝔇(𝑘) に関連する局所的逆系 𝐿′(𝐽(𝑘)) を同次化する。
• 同次化プロセスを用いて、局所的逆系の生成元を Γ = DP[𝑋₁,…,𝑋_{𝑛+1}] 内のグローバルな 𝐿_𝔇 の生成元に持ち上げ、𝑅 = 𝑘[𝑥₁,…,𝑥_{𝑛+1}] の次数付き構造と整合性を保つ。
• アポラリー性の概念を適用：形式 𝐹 ∈ Γ が 𝐿_𝔇 に属するための必要十分条件は、𝐼_𝔇 ⋅ 𝐹 = 0 となること（𝐼_𝔇 は縮約作用を介して作用）。
• 𝑅 内のイデアルと Γ 内の部分加群の双対性を活用し、𝐿_𝔇 が 𝒪_𝔇 と同じヒルベルト関数を持つことを利用する。
• 座標変換の下での同次化の振る舞いを解析し、特に 𝔇 が1点に集中している場合を特に考察する。
• 𝑑 > 𝛽(𝔻) であるとき、一般形式 𝐹 ∈ (𝐿_𝔇)_𝑑 がその消滅イデアルにより 𝔇 を一意に決定することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼロ次元的スキーム 𝔇 ⊂ ℙⁿ のグローバルMacaulay逆系 𝐿_𝔇 は、その既約成分の局所的逆系からどのように再構成可能か？
• RQ2 次数 𝑑 の一般形式 𝐹 が 𝔇 に対してアポラリーであるとき、どのような条件下で 𝔇 を一意に決定できるか？また、この現象が発生する閾値次数 𝑑 > 𝛽(𝔻) は何か？
• RQ3 座標環のGorenstein Artin商の最大ヒルベルト関数は何か？また、この上限はいつ達成されるか？
• RQ4 形式 𝐹 が一次形式のべきへの一般化された加法的分解（GAD）として一意に表現可能となる条件は何か？また、どのような条件下で一意性が保証されるか？
• RQ5 𝔇 のヒルベルト関数 𝐻_𝔇 とその成分の局所ヒルベルト関数との関係は何か？また、いつその関係が局所関数によって決定されないのか？

主な発見

• グローバル逆系 𝐿_𝔇 は局所的逆系 𝐿′(𝐽(𝑘)) の直和の同次化として構成され、その生成元は局所系の生成元から明示的に決定される。
• 局所的にGorensteinなゼロ次元的スキーム 𝔇 に対して、𝑑 > 𝛽(𝔻) である一般形式 𝐹 ∈ (𝐿_𝔇)_𝑑 は、一意に 𝔇 を決定する。すなわち、𝐴𝑛𝑛(𝐹) = 𝐼_𝔇 が成り立つ。
• 𝔇 のヒルベルト関数 𝐻_𝔇 は、ソクル次数が大きい場合に自然な上界 min{dimₖ 𝑅_𝑖, deg 𝔇} に達し、この上限は鋭い。
• 形式 𝐹 が一次形式のべきへの一般化された加法的分解（GAD）が、𝔇 がGorensteinで 𝑑 が十分に大きい場合に一意であることが、定理3.22で示されている。
• 𝔇 が固定された局所的Gorensteinスキーム 𝚪 の 𝑘 個の平行移動の和であるとき、ℎ-ベクトル Δ𝐻_𝔇 は点の配置に依存する。𝑘 = 3,4 の場合、一般な配置では、3𝑘 個の一般な滑らかな点のヒルベルト関数と一致する。
• 次数 3𝑘 の局所Gorensteinスキームの族 𝒻(𝚪,𝑘,ℙ²) は、滑らかまたは圧縮Gorensteinスキームの族へのファイブレーションを持ち、ファイバーは ℙ^{𝑠−1} の開部分集合と同型である。