[論文レビュー] Investment and Consumption without Commitment

Ivar Ekeland, Traian A. Pirvu|ArXiv.org|Aug 3, 2007

Economic theories and models参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非指数的（双曲的）割引の下での最適投資および消費を検討し、時間に依存しない好みを引き起こす。サブゲーム完全均衡戦略は、連立偏微分方程式（PDE）系を用いて定式化され、ホライズンが短いまたは無限大の場合にCRRA効用関数に対して存在を証明する。特定の割引関数、例えば指数関数の線形結合や指数関数と線形関数の積の形に対しては、明示的解が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the Merton portfolio management problem in the context of non-exponential discounting. This gives rise to time-inconsistency of the decision-maker. If the decision-maker at time t=0 can commit his/her successors, he/she can choose the policy that is optimal from his/her point of view, and constrain the others to abide by it, although they do not see it as optimal for them. If there is no commitment mechanism, one must seek a subgame-perfect equilibrium strategy between the successive decision-makers. In the line of the earlier work by Ekeland and Lazrak we give a precise definition of equilibrium strategies in the context of the portfolio management problem, with finite horizon, we characterize it by a system of partial differential equations, and we show existence in the case when the utility is CRRA and the terminal time T is small. We also investigate the infinite-horizon case and we give two different explicit solutions in the case when the utility is CRRA (in contrast with the case of exponential discount, where there is only one). Some of our results are proved under the assumption that the discount function h(t) is a linear combination of two exponentials, or is the product of an exponential by a linear function.

研究の動機と目的

• 割引が非指数的である場合のポートフォリオ選択における時間に依存しない問題に対処し、標準的な指数的割引仮定に挑戦すること。
• 非拘束の連続時間Mertonポートフォリオ問題において、サブゲーム完全均衡戦略を定義し、特徴づけること。
• 有限および無限ホライズンにおいて、特定の割引関数構造のもとでCRRA効用関数に対して均衡政策の存在を確立すること。
• EkelandとLazrak（2008）の枠組みを、一般の割引法を用いた確率的で連続時間の投資および消費モデルへ拡張すること。
• 2種類の非指数的割引法（タイプI：指数関数の線形結合、タイプII：指数関数と線形関数の積）に対して、均衡戦略の明示的解を提供すること。

提案手法

• 非指数的割引の下での動的計画原理に基づき導出された連立偏微分方程式（PDE）系の解として、均衡戦略を形式化する。
• Feynman-Kacの公式による価値関数の確率的表現を用いて、PDEと期待効用フローを結びつける。
• 後向き確率的微分方程式（BSDE）を用いて、均衡戦略における限界価値過程の動態を特徴づける。
• 2種類の異なる割引関数タイプを導入する：タイプI（h(t) = λe^{-ρ₁t} + (1−λ)e^{-ρ₂t}）およびタイプII（h(t) = (1+λt)e^{-ρt}）、これらは異なる均衡構造をもたらす。
• CRRA効用関数を用いて、PDE系を状態変数（資産）に関して解くことにより、均衡投資および消費ルールを導出する。
• 非指数的割引による非局所項を組み込んだ、時間に依存しない制御に適応したハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）フレームワークを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非指数的割引の下で連続時間ポートフォリオ選択において、サブゲーム完全均衡戦略をどのように定義し、特徴づけることができるか？
• RQ2 有限ホライズンのMerton問題において、CRRA効用関数と非指数的割引が与えられたとき、均衡政策の存在を保証する条件は何か？
• RQ3 特に指数関数の線形結合または指数関数と線形関数の積であるような異なる非指数的割引関数は、均衡投資および消費ルールの構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 CRRA効用関数と非指数的割引のもとで、無限ホライズンの場合の明示的均衡戦略は何か？
• RQ5 拘束なしの状況では、標準的な指数的割引仮定の場合と比較して、最適政策はどのように変化するか？

主な発見

• 有限ホライズンかつ小さなTの場合、効用関数がCRRAで、割引関数が2つの指数関数の線形結合または指数関数と線形関数の積の形である限り、均衡戦略は存在する。
• 無限ホライズンの場合、タイプIおよびタイプIIの割引法のもとで、CRRA効用関数に対して2つの明示的で異なる均衡解が存在するが、指数的割引の下では一意の解に限られる。
• CRRA効用関数のもとでは、非指数的割引であっても、均衡投資政策は資産の一定割合であるが、その割合は割引構造に依存する。
• 均衡消費ルールは限界効用の逆関数から導出され、限界価値過程は特定のPDE系を満たす。
• 価値関数は非局所項を含むPDE系を満たし、均衡戦略は期待割引効用フローを含む確率的表現によって特徴づけられる。
• 解法は、候補戦略が必要十分条件を満たすことをBSDEおよびFeynman-Kacの公式を用いて検証することに依存し、均衡定義と整合性を保つ。