[論文レビュー] Kähler-Einstein metrics and volume minimization

Chi Li, Yuchen Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 54被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、${\mathbb{Q}}$-Fano多様体がKähler-Einstein Fano多様体に特別な歪みを受けるとき、そのアフィンコーンの頂点に中心を持つ実値の評価の空間上での正規化体積関数 ${\widehat{\rm vol}}(v) = A_{\mathcal{C}}(v)^n \cdot {\rm vol}(v)$ が、その標準的評価によって全球的に最小化されることを確立する。これは、滑らかなFano多様体のK半安定性に関する予想を確認し、近似を用いてMartelli-Sparks-Yauの不規則なSasaki-Einstein計量における最小化結果を一般化する。

ABSTRACT

We prove that if a $\mathbb{Q}$-Fano variety $V$ specially degenerates to a Kähler-Einstein $\mathbb{Q}$-Fano variety $V$, then for any ample Cartier divisor $H=-r^{-1} K_V$ with $r\in \mathbb{Q}_{>0}$, the normalized volume $\widehat{ m vol}(v)=A_{\mathcal{C}}^n(v)\cdot { m vol}(v)$ is globally minimized at the canonical valuation ${ m ord}_V$ among all real valuations which are centered at the vertex of the affine cone $\mathcal{C}:=C(V,H)$. This is also generalized to the logarithmic and the orbifold setting. As a consequence, we complete the confirmation of a conjecture in [arXiv:1511.08164] on an equivalent characterization of K-semistability for any smooth Fano manifold. We also prove that the valuation associated to the Reeb vector field of a smooth Sasaki-Einstein metric minimizes $\widehat{ m vol}$ over the corresponding Kähler cone. These results strengthen the minimization result of Martelli-Sparks-Yau [Martelli et al 08].

研究の動機と目的

• アフィンコーン $\mathcal{C} = C(V, H)$ の頂点に中心を持つ実評価の空間上での正規化体積関数 ${\rm \widehat{vol}}(v) = A_{\mathcal{C}}(v)^n \cdot {\rm vol}(v)$ の全球的最小化性を確立すること。
• ${\mathbb{Q}}$-Fano多様体 $V$ がKähler-Einstein Fano多様体に特別な歪みを受けるならば、その標準的評価 ${\rm ord}_V$ が ${\rm \widehat{vol}}(v)$ の全球的最小値を達成することを証明すること。
• Li15aにおける、滑らかなFano多様体のK半安定性の同値な特徴付けに関する予想を、正規化体積最小化を用いて完全に確認すること。
• Martelli-Sparks-Yauの[MSY08]における最小化結果を、滑らかなSasaki多様体上の不規則なSasaki-Einstein計量の状況に一般化すること。

提案手法

• アフィンコーン $\mathcal{C} = C(V, H)$ の頂点に中心を持つ実評価 $v$ に対して、正規化体積 ${\rm \widehat{vol}}(v) = A_{\mathcal{C}}(v)^n \cdot {\rm vol}(v)$ を定義する。ここで $H = -r^{-1}K_V$ であり、$r \in \mathbb{Q}_{>0}$ である。
• フィルトレーションの理論とFujitaの近似を用いて、評価の体積とテスト配置の体積との関係を、特にlog-Fano対の文脈で関係づける。
• Kähler-Einstein Fano多様体上の射影的コーンのlog-K半安定性に関するBermanの結果を応用し、標準的評価の最小性を確立する。
• 収束して smooth に $g_M$ に近づく一連の準正則Sasaki計量 $\{g_{M,k}\}$ を構成する。Reebベクトル場 $\xi_k \to \xi$ であり、$A(\xi_k) = A(\xi)$ を満たす。
• 横断的リッチ曲率の公式 $Ric(g_M|_{\mathcal{H}}) = Ric(g_M^T) - 2g_M^T$ を用いて、Sasaki-Einstein条件を商軌道的特異点上の横断的Kähler-Einstein条件に関連付ける。
• 不規則なReebベクトル場を準正則なもので近似し、正規化体積関数の連続性を活用して、最小化結果を準正則から一般（不規則）Sasaki-Einstein計量へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathbb{Q}}$-Fano多様体 $V$ がKähler-Einstein Fano多様体に特別な歪みを受けるとき、そのアフィンコーンの頂点に中心を持つ実評価の空間上での正規化体積 ${\rm \widehat{vol}}(v)$ が、標準的評価 ${\rm ord}_V$ によって全球的に最小化されるか？
• RQ2 Li15aにおける、滑らかなFano多様体のK半安定性の同値な特徴付けに関する予想が、正規化体積最小化を用いて完全に確認できるか？
• RQ3 滑らかなSasaki-Einstein計量に付随するReebベクトル場が、正規化体積 ${\rm \widehat{vol}}(v)$ を最小化するという結果が、不規則なSasaki構造の状況へ拡張できるか？
• RQ4 ${\mathbb{Q}}$-Fano多様体 $V$ のK半安定性と、$\beta = r/n$ を用いた重み付きコーン $({\overline{\mathcal{C}}}, (1 - \beta)V_\infty)$ のlog-K半安定性との同値性の代数的証明は存在するか？

主な発見

• ${\mathbb{Q}}$-Fano多様体 $V$ がKähler-Einstein ${\mathbb{Q}}$-Fano多様体に特別な歪みを受けるとき、アフィンコーン $\mathcal{C} = C(V, H)$ の頂点に中心を持つすべての実評価の空間上での正規化体積関数 ${\rm \widehat{vol}}(v)$ に対して、標準的評価 ${\rm ord}_V$ が全球的最小値を達成する。
• この結果は、滑らかなFano多様体がK半安定であるための必要十分条件が、正規化体積が標準的評価で最小化されることであるというLi15aにおける予想を確認する。
• 任意の滑らかなSasaki-Einstein多様体に対して、その計量に付随するReebベクトル場は、コーン頂点に中心を持つすべての実評価の空間上での ${\rm \widehat{vol}}(v)$ を最小化する。不規則な場合にも成立する。
• 正規化体積関数は、Reebベクトル場の $C^\infty$ での滑らかな近似に対して連続であるため、最小化結果を準正則から一般（不規則）Sasaki-Einstein計量へ拡張できる。
• この証明は、与えられたSasaki-Einstein計量 $g_M$ に $C^\infty$ で収束する準正則Sasaki計量の列 $\{g_{M,k}\}$ が存在することに依拠しており、$A(\xi_k) = A(\xi)$ かつ ${\rm \widehat{vol}}(v_{\xi_k}) \to {\rm \hat{vol}}(v_\xi)$ が成り立つ。
• この結果は、Martelli-Sparks-Yauの[MSY08]における最小化結果を不規則な状況へ一般化し、任意の滑らかなSasaki-Einstein計量のReebベクトル場が ${\rm \widehat{vol}}(v)$ を最小化することを示している。