[論文レビュー] Connecting toric manifolds by conical Kahler-Einstein metrics

Ved Datar, Bin Guo+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 42被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、最大リッチ曲率下界およびバクリー＝エメリー・リッチ曲率下界を用いて、特異点をもつトーリック多様体上のトーリックな滑らかでないケーラー＝アインシュタイン計量およびケーラー＝リッチソリトン計量の存在基準を確立する。また、同じ次元をもつ任意の2つのトーリック多様体が、Gromov-Hausdorff位相における滑らかでないケーラー＝アインシュタイン計量をもつトーリック多様体の連続的経路で接続可能であることを証明する。

ABSTRACT

We give criterions for the existence of toric conical Kahler-Einstein and Kahler-Ricci soliton metrics on any toric manifold in relation to the greatest Ricci and Bakry-Emery-Ricci lower bound. We also show that any two toric manifolds with the same dimension can be joined by a continuous path of toric manifolds with conical Kahler-Einstein metrics in the Gromov-Hausdorff topology.

研究の動機と目的

• 対数Fano多様体および滑らかでない特異点をもつトーリック多様体に対する最大リッチ曲率下界 R(X) およびバクリー＝エメリー・リッチ曲率下界 R_BE(X) の一般化。
• トーリックFano多様体上でのトーリックな滑らかでないケーラー＝アインシュタイン計量およびケーラー＝リッチソリトン計量の存在に関する明示的基準の提供。
• 同じ次元をもつ任意の2つのトーリック多様体が、Gromov-Hausdorff位相において滑らかでないケーラー＝アインシュタイン計量をもつトーリック多様体の連続的経路で接続可能であることを示すこと。
• 滑らかでないケーラー＝アインシュタイン計量およびソリトン計量を用いた回帰スキームを構築し、Fano多様体の最大モデルを構成することにより、Fano幾何学における最小モデルプログラムを一般化すること。

提案手法

• ケーラー計量とのリッチ曲率比較を用いて、Fano多様体に対する最大リッチ曲率下界 R(X) およびバクリー＝エメリー・リッチ曲率下界 R_BE(X) を定義する。
• 連続的メソッドを適用して、β ∈ (0, R(X)) に対して滑らかでないケーラー＝アインシュタイン方程式 Ric(ω) = βω + (1−β)[D] を解き、t ∈ [R(X), T) に対してケーラー＝リッチソリトン方程式 Ric(ω) = tω + ℒ_ξω + (1−t)[D] を解く。
• Gromov-Hausdorff収束を用いて、連続的経路に沿った滑らかでないケーラー計量の退化族の極限を分析する。
• 与えられたトーリックFano多様体を滑らかでないケーラー＝アインシュタイン計量およびソリトン計量を経て変形する反復的回帰スキームを構築し、最適なバクリー＝エメリー・リッチ曲率をもつ最大モデルに到達する。
• 十分に小さい ε > 0 に対して、対 (X, −(1−ε)K_X + εD) の対数K安定性を用いて、特定の条件下で最大モデルの存在および一意性を保証する。
• 滑らかでないケーラー多様体における体積および測地線の凸性比較定理を適用し、連続的メソッドにおける一様推定を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリックFano多様体上でのトーリックな滑らかでないケーラー＝アインシュタイン計量の存在に必要な十分な条件は何か？
• RQ2 最大バクリー＝エメリー・リッチ曲率下界 R_BE(X) は、トーリックFano多様体上でのケーラー＝リッチソリトン方程式の可解性とどのように関係しているか？
• RQ3 同じ次元をもつ任意の2つのトーリックFano多様体は、Gromov-Hausdorff位相において、滑らかでないケーラー＝アインシュタイン計量をもつトーリック多様体の連続的経路で接続可能か？
• RQ4 滑らかでないケーラー＝アインシュタイン計量およびソリトン計量に基づく回帰スキームにおけるFano多様体の最大モデルの構造は何か？
• RQ5 回帰スキームが初期の除数Dの選択に依存しない一意な最大モデルを生成する条件は何か？

主な発見

• トーリックな滑らかでないケーラー＝アインシュタイン計量の存在は、β < R(X) であることに特徴づけられる。ここで R(X) は最大リッチ曲率下界である。
• トーリックな滑らかでないケーラー＝リッチソリトン計量の存在は、t < R_BE(X) であることに特徴づけられ、R_BE(X) ≤ 1 であり、すべてのFano多様体に対して 1 であると予想されている。
• 同じ次元をもつ任意の2つのトーリックFano多様体に対して、Gromov-Hausdorff位相において、滑らかでないケーラー＝アインシュタイン計量をもつトーリック多様体の連続的経路が存在する。
• 回帰スキームの極限として定義されるFano多様体の最大モデルは、バクリー＝エメリー・リッチ曲率を最大化し、Ric(ω′) = Tω′ + ℒ_ξ′ω′ + (1−T)[D′] を満たす。ここで T = R_BE(X) である。
• R(X) = 1 のとき、最大モデルは滑らかなFano多様体であり、ケーラー＝アインシュタイン計量をもつ。R(X) < 1 のとき、最大モデルはQ-Fano多様体であり、log終等特異点をもち、滑らかでないケーラー＝リッチソリトン計量をもつ。
• R(X) = 1 のとき、最大モデルは初期の除数Dに依存せず一意であり、対数K安定性の条件下で、この構成は対数Fano対へ一般化可能である。