[论文解读] Kirchhoff Index As a Measure of Edge Centrality in Weighted Networks: Nearly Linear Time Algorithms

Huan Li, Zhongzhi Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2017

Graph theory and applications被引用 16

一句话总结

本文提出了 $\theta$-Kirchhoff 边中心性，一种基于 Kirchhoff 指数对边权变化敏感性的加权网络中边重要性的新型全局度量。它首次提出了近乎线性时间算法，以 $\epsilon$-近似方式计算所有边的该中心性，从而实现了大规模加权网络的可扩展分析，并具有可证明的保证。

ABSTRACT

Most previous work of centralities focuses on metrics of vertex importance and methods for identifying powerful vertices, while related work for edges is much lesser, especially for weighted networks, due to the computational challenge. In this paper, we propose to use the well-known Kirchhoff index as the measure of edge centrality in weighted networks, called $θ$-Kirchhoff edge centrality. The Kirchhoff index of a network is defined as the sum of effective resistances over all vertex pairs. The centrality of an edge $e$ is reflected in the increase of Kirchhoff index of the network when the edge $e$ is partially deactivated, characterized by a parameter $θ$. We define two equivalent measures for $θ$-Kirchhoff edge centrality. Both are global metrics and have a better discriminating power than commonly used measures, based on local or partial structural information of networks, e.g. edge betweenness and spanning edge centrality. Despite the strong advantages of Kirchhoff index as a centrality measure and its wide applications, computing the exact value of Kirchhoff edge centrality for each edge in a graph is computationally demanding. To solve this problem, for each of the $θ$-Kirchhoff edge centrality metrics, we present an efficient algorithm to compute its $ε$-approximation for all the $m$ edges in nearly linear time in $m$. The proposed $θ$-Kirchhoff edge centrality is the first global metric of edge importance that can be provably approximated in nearly-linear time. Moreover, according to the $θ$-Kirchhoff edge centrality, we present a $θ$-Kirchhoff vertex centrality measure, as well as a fast algorithm that can compute $ε$-approximate Kirchhoff vertex centrality for all the $n$ vertices in nearly linear time in $m$.

研究动机与目标

• 解决加权网络中缺乏有效、全局敏感的边中心性度量的问题。
• 克服在大规模网络中精确计算基于 Kirchhoff 指数的边中心性在计算上的不可行性。
• 开发高效、可证明准确的算法，以近乎线性时间估计边中心性。
• 将该框架扩展至顶点中心性和多边中心性估计。

提出的方法

• 将 $\theta$-Kirchhoff 边中心性定义为当边的权重减少至 $\theta w(e)$ 时，Kirchhoff 指数的增加量，以捕捉其结构重要性。
• 利用 Woodbury 矩阵恒等式，将 Kirchhoff 指数的增量表示为涉及拉普拉斯矩阵伪逆与秩一更新矩阵的迹。
• 应用随机化压缩和杠杆度采样技术，高效近似矩阵积的迹。
• 通过迭代采样随机向量来估计二次型 $\mathbf{y}^\top \mathbf{C}_v \mathbf{y}$，该方法以高概率近似迹。
• 结合多个近似结果，利用集中不等式，以高概率实现 $\epsilon$-精度。
• 通过定义在移除某顶点所有关联边时 Kirchhoff 指数的变化，将该方法扩展至顶点中心性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 Kirchhoff 指数用作加权网络中边中心性的全局、敏感度量？
• RQ2 是否可能以近乎线性时间对所有边的 Kirchhoff 边中心性进行近似，并提供可证明的误差界？
• RQ3 所提出的 $\theta$-Kirchhoff 中心性与现有局部或部分度量（如边介数或生成树边中心性）相比，在区分能力上表现如何？
• RQ4 该框架能否扩展至顶点中心性和多边中心性估计？
• RQ5 在不同 $\theta$ 参数范围内，不同算法方法之间的理论与实际权衡如何？

主要发现

• 实验评估表明，所提出的 $\theta$-Kirchhoff 边中心性度量在区分能力上优于边介数、生成树边中心性和当前流中心性。
• 本文提出了两种近乎线性时间算法，可在 $O(m \cdot \text{poly}(\log n, \epsilon^{-1}))$ 时间内对所有 $m$ 条边计算 $\epsilon$-近似值。
• 这些算法通过基于随机向量的随机化压缩和迹估计技术，以高概率实现 $\epsilon$-精度。
• 顶点中心性方法可在接近线性时间（关于边数 $m$）内对所有 $n$ 个顶点实现 $\epsilon$-近似。
• 理论分析表明，近似误差以高概率被限制在 $\epsilon$ 以内，依赖于集中不等式和矩阵扰动理论。
• 该框架可扩展至集合边中心性估计，从而高效识别出 $k$ 个最具影响力的边。