[論文レビュー] Kruskal Coordinates and Mass of Schwarzschild Black Holes

Abhas Mitra|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 1999

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、シュワルツシルトブラックホールが、Kruskal-Szekeres座標系における矛盾により質量ゼロでなければならないと主張している。すなわち、事象の地平線で計量が零（ds² = 0）となるが、これは地平線内部の時間的測地線が要求する条件と矛盾する。この矛盾は、質量 M = 0 でなければ解けない。著者らは、古典的に理解されるブラックホールは存在せず、代わりに有限の赤方偏移を示す永遠に収縮する構成のみが形成され、Kruskal図におけるホワイトホールや他の宇宙は物理的に意味を持たないとして結論づけている。

ABSTRACT

Schwarzschild coordinates (r,t) fail to describe the region within the event horizon (EH), (r <= 2 M), of a Black Hole (BH) because the metric coefficients exhibit singularity at r=2 M, and the radial geodesic of a particle appears to be null (ds^2 =0) when actually it must be timelike (ds^2 >0), if, indeed, r_g =2 M >0. Thus, both the exterior and the interior regions of BHs are described by singularity free Kruskal-Szekeres coordinates. However, we show that, in this case too, ds^2= 0 for r=2M. And this result can be physically reconciled only if the EH coincides with the central singularity or if the mass of Schwarzschild black holes M= 0. This conclusion agrees with the result of our following paper (astro-ph/9904163) which points out that the Oppenheimer-Snyder paper showing formation of a BH, too, corresponds to a BH of mass M=0. It means that Schwarzschild singularity and the central singularity are synonymous, and there is no spacetime beneath the EH. Hence the concept of ``White Holes'' and ``Other Universes'' suggested by the Kruskal diagram naturally ceases to exist. We insist that our derivation is straightforward and there is no scope for any ambiguity, any reader may be able to verify it. The proper time for formation of a zero mass BH may be seen to be infinite. Therefore at any finite epoch there would not be any BH. On the other hand, there would be such eternally collapsing configurations with arbitrary high but finite surface red-shifts. If accretion onto such collapsing configurations is advection dominated, there would be little radiation output. Observationally, such collapsing configurations may be identified as ``Black Holes''.

研究の動機と目的

• 事象の地平線 r = 2M で計量が零（ds² = 0）となるKruskal-Szekeres座標系における、明らかに矛盾する性質を解消すること。
• シュワルツシルト座標系における r = 2M での特異性が、物理的不整合を引き起こし、ブラックホール質量をゼロに強制するかを検証すること。
• ホワイトホールや他の宇宙を示唆するKruskal図の標準的解釈を挑戦すること。
• 径方向測地線の振る舞いとKruskal座標系における計量構造を調和させ、物理的不整合を回避するにはゼロ質量解しかあり得ないことを示すこと。

提案手法

• Kruskal-Szekeres計量の導出と、r = 2M における線素 ds² の分析。
• 事象の地平線における計量の符号の評価により、ds² = 0 であるが、地平線内部の時間的測地線の期待と矛盾することを示す。
• 地平線内部の径方向経路が時間的（ds² > 0）でなければならないという原則を適用し、r = 2M で ds² = 0 となる以上、M = 0 でなければ矛盾を解消できないこと。
• Oppenheimer-Snyder収縮モデルとの比較により、最終状態においても質量ゼロを示唆すること。
• シュワルツシルト座標からKruskal座標への座標変換を用いて、特異性のないが物理的に不整合な地平線での振る舞いを露呈すること。
• 論理的帰納により、唯一一貫した解は M = 0 であり、これは地平線の下に時空が存在しないことを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kruskal-Szekeres計量は、ds² = 0 となる事象の地平線で、時空の記述を一貫して行えるか？
• RQ2 質量 M > 0 のブラックホールが、r = 2M で計量が零となる場合に、事象の地平線内部で時間的径方向測地線を維持できるか？
• RQ3 径方向経路が地平線内部で時間的でなければならないという条件下で、Kruskal座標系における r = 2M で計量が零である物理的意味は何か？
• RQ4 Oppenheimer-Snyder収縮モデルは、非ゼロ質量のブラックホールを実際に生成するのだろうか、それとも M = 0 を示唆するのか？
• RQ5 Kruskal図におけるホワイトホールや他の宇宙を表す領域は物理的実在を持つのか、それとも不整合な仮定の産物にすぎないのか？

主な発見

• Kruskal座標系における計量は、事象の地平線 r = 2M で零（ds² = 0）となるが、これは地平線内部の時間的径方向測地線の要件と矛盾する。
• この矛盾は、シュワルツシルトブラックホールの質量がゼロ、すなわち M = 0 でなければ解けない。
• したがって、シュワルツシルト特異点と中心の時空特異点は同一視され、地平線の下に時空は存在しない。
• Kruskal図におけるホワイトホールや他の宇宙の概念は物理的に無効であり、非ゼロ質量の仮定に依存している。
• 古典的に定義されるブラックホールは形成されない。代わりに、任意に高くはなるが有限の表面赤方偏移を示す、永遠に収縮する構成のみが存在する。
• ゼロ質量ブラックホールの形成に要する固有時間は無限大であるため、有限の時代にはブラックホールは存在しえない。