[논문 리뷰] Large deviations and applications for Markovian Hawkes processes with a large initial intensity

Xuefeng Gao, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 23.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초기 강도가 큰 선형 마코프형 하크스 프로세스에 대해 대규모 변동 원리를 수립하며, 유한 시간 및 초기 강도/시간이 동시에 큰 공통 영역에서의 명시적 속도 함수를 도출한다. 샘플 경로 대규모 변동 이론과 수축 원리를 활용하여, 군중화되고 고강도의 도착이 있는 보험 모델에서의 파산 확률과 큐잉 시스템에서의 손실 확률에 대한 정확한 점근적 근사치를 제공한다.

ABSTRACT

Hawkes process is a class of simple point processes that is self-exciting and has clustering effect. The intensity of this point process depends on its entire past history. It has wide applications in finance, insurance, neuroscience, social networks, criminology, seismology, and many other fields. In this paper, we study linear Hawkes process with an exponential kernel in the asymptotic regime where the initial intensity of the Hawkes process is large. We establish large deviations for Hawkes processes in this regime as well as the regime when both the initial intensity and the time are large. We illustrate the strength of our results by discussing the applications to insurance and queueing systems.

연구 동기 및 목표

• 초기 강도가 클 때 선형 마코프형 하크스 프로세스의 대규모 변동 행동을 분석하기 위해.
• 초기 강도와 시간 $T$가 모두 클 때, 카운팅 프로세스 $N_T$의 대규모 변동에 대한 명시적 속도 함수를 유도하기 위해.
• 자기자극적 청구 도착이 있는 보험 모델에서의 유한 수평선 파산 확률을 근사하기 위해 대규모 변동 결과를 적용하기 위해.
• 이론적 프레임워크를 활용하여 하크스 입력과 높은 초기 도착률을 가진 다중 서버 큐잉 시스템에서의 손실 확률을 추정하기 위해.
• 유사한 점근적 영역에서 기존의 기능적 대수법칙과 중심극한정리에 보완적으로 대규모 변동 스케일링을 제공하기 위해.

제안 방법

• 하크스 프로세스를 $Z_t$ 가 SDE $dZ_t = -\beta Z_t dt + \alpha dN_t$ 를 만족하는 마코프형 표현으로 모델링하며, $\lambda_t = \mu + Z_{t-}$ 를 정의한다.
• 카운팅 프로세스의 경로 $h(t)$ 에 적용된 수축 원리를 통해 $N_t$ 의 샘플 경로 대규모 변동을 수립한다.
• 강도 경로와 그 역학을 포함하는 상대 엔트로피 공식을 사용하여 속도 함수 $I_N(h)$ 를 유도한다.
• $Z_0 = n$ 조건 하에서 $N_T$ 의 모멘트 생성 함수를 사용하여 가르트너-엘리스 정리를 적용하고, 필수 미분 가능성 조건을 검증한다.
• $N_T/n \in \cdot$ 의 속도 함수 $H(x;T)$ 가 $\inf_{h:h(T)=x} I_N(h)$ 로 주어지고, 비선형 상미분방정식의 해를 통해 닫힌 형태 표현식을 얻을 수 있음을 증명한다.
• 비임계($\alpha < \beta$) 및 초임계($\alpha \geq \beta$) 영역 모두에 대해 분석을 확장하며, 임계 임계값 $\theta_d(T)$ 의 명시적 특성화를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 시간 $T$ 에서 초기 강도 $Z_0 = n$ 이 무한대에 접근할 때, 선형 마코프형 하크스 프로세스의 대규모 변동 속도 함수는 무엇인가요?
• RQ2 초기 강도 $n$ 과 시간 영역 $T$ 가 모두 무한대에 접근할 때, 대규모 변동 행동은 어떻게 변화합니까?
• RQ3 대규모 변동 원리는 하크스 분포를 따르는 청구 도착이 있는 보험 모델에서의 파산 확률에 대한 점근적 근사치를 도출하는 데 사용될 수 있나요?
• RQ4 동일한 프레임워크는 하크스 입력과 높은 초기 하중을 가진 다중 서버 큐잉 시스템에서의 손실 확률을 추정하는 데 적용될 수 있나요?
• RQ5 큰 $n$ 영역에서 정규화된 카운팅 프로세스 $N_T/n$ 의 속도 함수 $H(x;T)$ 의 명시적 형태는 무엇입니까?

주요 결과

• $N_T/n$ 에 대한 대규모 변동 원리는 좋은 속도 함수 $H(x;T) = \inf_{h:h(T)=x} I_N(h)$ 를 통해 성립하며, 여기서 $I_N(h)$ 는 경로 $h$ 와 강도 역학 간의 상대 엔트로피에서 유도된다.
• 초임계 케이스($\alpha \geq \beta$) 에서는 $C(t; \theta/\alpha)$ 를 포함하는 비선형 상미분방정식의 해를 통해 속도 함수가 특성화되며, 모멘트 생성 함수의 유한성 영역을 결정하는 임계 임계값 $\theta_d(T)$ 가 존재한다.
• $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log \mathbb{E}[e^{\theta N_T}] = C(T; \theta/\alpha) - \theta/\alpha$ 는 $\theta < \theta_d(T)$ 에서만 유한하며, 이 임계값을 초과하면 발산한다.
• 가르트너-엘리스 정리의 필수 미분 가능성 조건이 검증되어 대규모 변동 원리의 타당성을 보장한다.
• 속도 함수 $H(x;T)$ 가 식 (2.9)의 표현과 동치임을 증명하며, 비선형 상미분방정식 시스템의 해를 통해 닫힌 형태의 특성화를 제공한다.
• 보험 및 큐잉 시스템에의 응용을 통해 고강도 초기 도착률 조건 하에서 파산 및 손실 확률에 대한 명시적 점근적 근사치를 도출한다.