[논문 리뷰] Limit theorems for Markovian Hawkes processes with a large initial intensity

Xuefeng Gao, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 07.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 36인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 초기 강도 $ Z_0 $ 가 큰 점점 커지는 점근적 영역에서 선형 마코프형 하크스 프로세스에 대해 기능적 대수의 법칙과 기능적 중심극한정리를 수립한다. 과도한 행동에 대한 명시적 근사값을 도출하며, 강도와 수세기 과정이 각각 결정론적 한계와 확산 과정으로 수렴함을 보이며, 이는 초기 강도와 자극 매개변수에 따라 명시적인 분산과 추정항을 포함한다.

ABSTRACT

Hawkes process is a simple point process that is self-exciting and has clustering effect. The intensity of this point process depends on its entire past history. It has wide applications in finance, neuroscience, social networks, criminology, seismology, and many other fields. In this paper, we study the linear Hawkes process with an exponential exciting function in the asymptotic regime where the initial intensity of the Hawkes process is large. We derive limit theorems under this asymptotic regime as well as the regime when both the initial intensity and the time are large.

연구 동기 및 목표

• 초기 강도 $ Z_0 $ 가 클 때 선형 마코프형 하크스 프로세스의 점점 커지는 행동을 분석하는 것.
• 이 큰 초기 강도 영역에서 기능적 대수의 법칙과 기능적 중심극한정리를 도출하는 것.
• 고빈도 거래 및 신용 리스크 모델링과 같은 응용에 유용한 강도와 수세기 과정 $ N_t $ 의 과도한 역학에 대한 근사값을 제공하는 것.
• 초기 강도 $ Z_0 $ 와 시간 $ t $ 가 동시에 큰 조건에서의 공동 점점 커지는 행동을 분석하여 고강도 상태에서의 장기적 행동을 포괄하는 것.
• 고강도 활동 상태에서 볼륨 지속시간과 디폴트 수의 이론적 근거를 마련하는 것.

제안 방법

• 보조 과정 $ Z_t $ 를 사용한 마코프형 표현을 통해 하크스 프로세스를 모델링하며, 이는 $ dZ_t = -\beta Z_t dt + \alpha dN_t $ 를 만족한다.
• 초기 조건 $ Z_0 = n $ 를 설정하고 $ n \to \infty $ 로 하여 큰 초기 강도 점점 커지는 행동을 연구한다.
• 마틴게일 기법과 버크홀더-데이비스-건디 부등식을 적용하여 혁신 과정 $ M_t $ 의 모멘트를 제어하고, 이로 인해 $ Z_t $ 의 모멘트 경계를 확보한다.
• 가정 $ h(t) = \alpha e^{-\beta t} $ 하에 $ Z_t $ 의 첫 번째 세 번째 절대 및 중심 모멘트에 대한 명시적 표현을 도출하며, $ \mathbb{E}[Z_t^3] $ 도 포함한다.
• 적절한 스케일링 하에서 정규화된 과정 $ \frac{1}{\sqrt{n}}(Z_t - \mathbb{E}[Z_t]) $ 가 확산 과정으로 약한 수렴함을 증명한다.
• $ (Z_t, N_t) $ 의 마코프 성질을 이용하여 모멘트 방정식을 유도하고, 모멘트 경계에 대해 그론발라 타입의 추정을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 강도 $ Z_0 $ 가 클 때 강도 과정 $ \lambda_t = \mu + Z_t $ 는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 큰 초기 강도 조건 하에서 하크스 프로세스의 과도한 행동을 지배하는 기능적 극한 정리는 무엇인가?
• RQ3 초기 강도 $ Z_0 \to \infty $ 일 때 $ Z_t $ 의 첫 번째 및 두 번째 모멘트는 시간이 지남에 따라 어떻게 변화하며, 그 점점 커지는 형태는 무엇인가?
• RQ4 수세기 과정 $ N_t $ 는 큰 $ Z_0 $ 영역에서 확산 과정으로 근사될 수 있는가? 그리고 그 극한의 추정항과 변동성은 무엇인가?
• RQ5 초기 강도 $ Z_0 $ 와 시간 $ t $ 가 동시에 큰 조건에서의 공동 점점 커지는 행동은 무엇이며, 이는 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 첫 번째 모멘트는 $ \mathbb{E}[Z_t] = Z_0 e^{(\alpha - \beta)t} + \frac{\alpha Z_0}{\alpha - \beta}(e^{(\alpha - \beta)t} - e^{-\beta t}) $ 로 주어지며, $ \alpha > \beta $ 일 때 지수적 증가를 보인다.
• 두 번째 모멘트 $ \mathbb{E}[Z_t^2] $ 는 명시적으로 유도되며, $ Z_0^2 e^{2(\alpha - \beta)t} + \frac{2\alpha Z_0}{\alpha - \beta}(e^{2(\alpha - \beta)t} - e^{(\alpha - \beta)t}) $ 로 주어지며, 주요 항은 $ Z_0^2 e^{2(\alpha - \beta)t} $ 의 순서를 가진다.
• 세 번째 모멘트 $ \mathbb{E}[Z_t^3] $ 는 닫힌 형태로 유도되며, 주요 항은 $ Z_0^3 e^{3(\alpha - \beta)t} $ 로, $ \alpha > \beta $ 일 때 $ Z_0 $ 에 대해 세차적 증가를 확인한다.
• 적절한 스케일링 하에서 정규화된 과정 $ \frac{1}{\sqrt{n}}(Z_t - \mathbb{E}[Z_t]) $ 는 추정항 $ (\alpha - \beta)Z_t $ 와 변동성 $ \sqrt{\alpha Z_t} $ 를 가진 확산 과정으로 약한 수렴한다.
• 극한 확산 과정의 분산은 $ \alpha Z_0 e^{2(\alpha - \beta)t} $ 에 비례하며, 이는 $ \alpha > \beta $ 일 때 변동성이 지수적으로 증가함을 시사한다.
• 결과는 $ h(t) = \sum_{i=1}^d \alpha_i e^{-\beta_i t} $ 인 경우로 확장되며, $ Z_0^{(i)} \to \infty $ 가 같은 비율로 수렴함을 가정하여 마코프성과 극한 정리가 유지된다.