[論文レビュー] Learning Data-Driven Stable Koopman Operators

Giorgos Mamakoukas, Ian Abraham+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 58被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、非線形システムのデータ駆動型モデリングにおける長期的精度を向上させるために、固有値を制約することで安定なKoopman作用素を学習する手法を提案する。最小二乗最適化に安定性制約を組み合わせることで、すべての固有値が ≤1 になるように保証し、振り子、ホッパー、マルチローター機器のシステムにおいて、予測性能と制御性能が顕著に向上する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of improving the long-term accuracy of data-driven approximations of Koopman operators, which are infinite-dimensional linear representations of general nonlinear systems, by bounding the eigenvalues of the linear operator. We derive a formula for the global error of general Koopman representations and motivate imposing stability constraints on the data-driven model to improve the approximation of nonlinear systems over a longer horizon. In addition, constraints on admissible basis functions for a stable Koopman operator are presented, as well as conditions for constructing a Lyapunov function for nonlinear systems. The modified linear representation is the nearest extit{stable} (all eigenvalues are equal or less than 1) matrix solution to a least-squares minimization and bounds the prediction of the system response. We demonstrate the benefit of stable Koopman operators in prediction and control performance using the systems of a pendulum, a hopper, and a quadrotor.

研究の動機と目的

• 標準的なデータ駆動型Koopman作用素が不安定な固有値を有することによる長期的予測精度の低さを是正すること。
• データ適合性を損なわせることなく、Koopman作用素の近似においてすべての固有値が ≤1 となる安定性を強制する手法の開発。
• 安定なKoopman作用素のための条件を導出し、基底関数を用いて非線形システムのリャプノフ関数を構築すること。
• 安定性制約によるグローバル誤差のバインドを通じて、システム応答の予測精度と制御性能を向上させること。

提案手法

• Koopman表現のグローバル誤差式を導出し、長期的近似誤差を定量化する。
• Koopman作用素のすべての固有値が ≤1 であることを要請する安定性制約を課す。
• データ駆動型Koopman作用素に最も近い安定行列を求めるために、安定性制約付きの最小二乗最適化問題を定式化する。
• 安定なKoopman作用素をサポートし、リャプノフ関数の構築を可能にする許容可能な基底関数を同定する。
• 得られた安定作用素を用いて、システム応答の予測をバインドし、制御性能を向上させる。
• 提案手法をベンチマーク非線形システム（振り子、ホッパー、マルチローター機器）に適用し、実証的妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有値制約は、データ駆動型Koopman作用素近似の長期的精度をどのように向上させるか？
• RQ2 どのような基底関数の条件が、安定なKoopman作用素および関連するリャプノフ関数の構築を可能にするか？
• RQ3 安定性を強制することは、非線形システムにおける予測誤差と制御性能にどのように影響するか？
• RQ4 Koopman表現のグローバル誤差と作用素の固有値特性の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 最小二乗解に最も近い安定行列として、安定Koopman作用素を計算できるか？

主な発見

• 提案手法による安定Koopman作用素は、標準的なデータ駆動型Koopmanモデルと比較して、長期的予測誤差を顕著に低減する。
• 安定性制約により、システム応答の予測がバインドされ、軌道の無制限な増大が防止される。
• 適切な基底関数を用いることで、非線形システムのリャプノフ関数の構築が可能になる。
• 実験的結果から、振り子、ホッパー、マルチローター機器のシステムにおいて、制御性能が向上することが示された。
• 安定Koopman作用素は、最小二乗解に最も近い安定行列として導出され、データ適合性と安定性の最適なトレードオフが保証される。
• 導出された誤差式を用いて、Koopman表現のグローバル誤差が解析的にバインドされ、固有値特性と予測精度の関係が明確にされた。