[論文レビュー] Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory

Edward Frenkel|ArXiv.org|Dec 15, 2005

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、幾何学的ラングランズ理論と2次元共形場理論（CFT）の間に深い接続を確立し、幾何学的ラングランズにおけるヘッケ固有層が、Kac-Moody対称性を持つCFTにおける共形ブロックに一致することを示している。また、G-バンドルのモジュライ空間上のねじれたD加群がWZWモデルから生じること、そして臨界レベルにおけるチャーラル代数がオーバーとT双対性を通じて幾何学的ラングランズ対応を記述することを示しており、数論的双対性と量子場理論的双対性を統合している。

ABSTRACT

These lecture notes give an overview of recent results in geometric Langlands correspondence which may yield applications to quantum field theory. We start with a motivated introduction to the Langlands Program, including its geometric reformulation, addressed primarily to physicists. I tried to make it as self-contained as possible, requiring very little mathematical background. Next, we describe the connections between the Langlands Program and two-dimensional conformal field theory that have been found in the last few years. These connections give us important insights into the physical implications of the Langlands duality.

研究の動機と目的

• 再帰的群に対して、幾何学的ラングランズプログラムと2次元共形場理論（CFT）を結びつけること。
• Kac-Moody対称性を持つCFTにおける共形ブロックから、幾何学的ラングランズにおけるヘッケ固有層がどのように生じるかを説明すること。
• WZWモデルの臨界レベルにおけるチャーラル代数が、オーバーとラングランズ双対群を介して幾何学的ラングランズ対応を実現することを示すこと。
• Kapustin-WittenのS双対性の文脈において、Bun_G上のねじれたD加群が物理的Dブレーンとして果たす役割を明確にすること。
• CFTにおけるフーリエ＝ムカイ変換とT双対性が、幾何学的ラングランズ対応の物理的実現を提供すること。

提案手法

• WZWモデルを用いて、G-バンドルのモジュライ空間（Bun_G）上の共形ブロックの層をD加群として構成する。
• 臨界レベルにおけるチャーラル代数とその中心を用いて、ヘッケ固有層の性質を満たすD加群を定義する。
• Drinfeld-Sokolovの還元とMiura変換を適用し、オーバーと共形ブロックおよびD加群を関連付ける。
• WZWモデルとその臨界レベルにおける自由場実現を用いて、Bun_G上のねじれたD加群を導入する。
• WZWモデルにおけるT双対性を用いて、幾何学的ラングランズ対応においてラングランズ双対群を実現する。
• Riemann-Hilbert対応と perverse sheaf 理論を用いて、局所系とD加群、ヘッケ固有層を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kac-Moody対称性を持つ2次元CFTにおける共形ブロックは、どのように幾何学的ラングランズプログラムにおけるヘッケ固有層を実現するか？
• RQ2 臨界レベルにおけるチャーラル代数が幾何学的ラングランズ対応をどのように記述するか？
• RQ3 WZWモデルにおけるT双対性は、Gとその双対群G∨の間のラングランズ双対性をどのように実現するか？
• RQ4 曲線上のオーバーは、どのようにヘッケ固有層であるD加群に対応するか？
• RQ5 Bun_G上のねじれたD加群は、WZWモデルにおけるコインvariantsの層からどのように生じるか？

主な発見

• Bun_G上の共形ブロックの層は、ねじれたD加群と同型であり、ヘッケ固有層の物理的実現を提供する。
• WZWモデルの臨界レベルにおけるチャーラル代数の中心は、オーバーを分類するものであり、幾何学的ラングランズ対応において中心的な役割を果たす。
• WZWモデルの臨界レベルにおけるD加群は、Miura変換を介してヘッケ固有層の性質を満たす。
• WZWモデルにおけるT双対性は、S双対理論のゲージ群としてラングランズ双対群G∨を実現し、S双対性とラングランズ双対性を結びつける。
• 非可換フーリエ＝ムカイ変換とアフィングラスマンジャンは、対応のカテゴリカルな枠組みを提供し、ループ群の表現がD加群の圏に作用する。
• CFTにおける非可換フーリエ＝ムカイ変換は、幾何学的ラングランズ対応に対応し、コインvariantsの層のフーリエ＝ムカイ変換がヘッケ固有層を生成する。