[论文解读] Linear Clique-Width for Subclasses of Cographs, With Connections to Permutations

Robert Brignall, Nicholas Korpelainen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2013

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文证明，cograph 的一个遗传性质具有有界线性 clique-width 当且仅当它不包含所有拟阈值图及其补图。通过将结构图论与排列类枚举联系起来，作者揭示了有界线性 clique-width 与排列类中理性生成函数之间的深层联系，暗示了一个具有重要影响的广泛猜想。

ABSTRACT

We prove that a hereditary property of cographs has bounded linear cliquewidth if and only if it does not contain all quasi-threshold graphs or their complements. The proof borrows ideas from the enumeration of permutation classes, and the similarities between these two strands of investigation lead us to a conjecture relating the graph properties of bounded linear clique-width to permutation classes with rational generating functions which would have far-reaching consequences if true.

研究动机与目标

• 刻画 cograph 的哪些遗传性质具有有界线性 clique-width。
• 探索图参数与排列类枚举之间的联系。
• 研究有界线性 clique-width 是否对应于具有理性生成函数的排列类。

提出的方法

• 通过分析禁止子图，识别 cograph 中线性 clique-width 保持有界的条件。
• 使用针对 cograph 和拟阈值图的特定结构分解技术。
• 借鉴排列类枚举的类比，特别是生成函数行为方面的类比。
• 应用已知的 clique-width 和线性 clique-width 结果于遗传图类。
• 建立被排除图族与生成函数有理性之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 cograph 的遗传性质具有有界线性 clique-width？
• RQ2 cograph 的哪些结构条件可确保线性 clique-width 有界？
• RQ3 拟阈值图及其补图的性质如何与线性 clique-width 的有界性相关？
• RQ4 有界线性 clique-width 与排列类中理性生成函数之间有何联系？
• RQ5 是否存在一个普遍猜想，将有界线性 clique-width 与排列类中的理性生成函数联系起来？

主要发现

• cograph 的一个遗传性质具有有界线性 clique-width 当且仅当它不包含所有拟阈值图或其补图。
• 证明技术借鉴了排列类枚举中的结构类比。
• 作者识别出有界线性 clique-width 与排列类中理性生成函数之间的深层概念联系。
• 研究结果暗示了一个深远的猜想：有界线性 clique-width 可能恰好对应于具有理性生成函数的排列类。
• 结果统一了图论与排列类枚举的洞察，为两个领域开辟了新的研究方向。