[论文解读] Linear codes over Fq which are equivalent to LCD codes

Claude Carlet, Sihem Mesnager+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 18被引用 12

一句话总结

该论文证明了在 $ℚ_q$ 上，任意线性码（当 $q > 3$ 时）等价于一个欧几里得 LCD 码，且在 $ℚ_{q^2}$ 上，任意线性码（当 $q > 2$ 时）等价于一个酉 LCD 码。作者提出了一种基于线性变换的一般构造方法，并证明此类等价性保持码的参数不变，表明 LCD 码在这些域上可达到与一般线性码相同的渐近界。

ABSTRACT

Linear codes with complementary duals (abbreviated LCD) are linear codes whose intersection with their dual are trivial. When they are binary, they play an important role in armoring implementations against side-channel attacks and fault injection attacks. Non-binary LCD codes in characteristic 2 can be transformed into binary LCD codes by expansion. In this paper, we introduce a general construction of LCD codes from any linear codes. Further, we show that any linear code over $\mathbb F_{q} (q>3)$ is equivalent to an Euclidean LCD code and any linear code over $\mathbb F_{q^2} (q>2)$ is equivalent to a Hermitian LCD code. Consequently an $[n,k,d]$-linear Euclidean LCD code over $\mathbb F_q$ with $q>3$ exists if there is an $[n,k,d]$-linear code over $\mathbb F_q$ and an $[n,k,d]$-linear Hermitian LCD code over $\mathbb F_{q^2}$ with $q>2$ exists if there is an $[n,k,d]$-linear code over $\mathbb F_{q^2}$. Hence, when $q>3$ (resp.$q>2$) $q$-ary Euclidean (resp. $q^2$-ary Hermitian) LCD codes possess the same asymptotical bound as $q$-ary linear codes (resp. $q^2$-ary linear codes). Finally, we present an approach of constructing LCD codes by extending linear codes.

研究动机与目标

• 确定有限域上线性码与 LCD 码存在的等价性。
• 建立欧几里得与酉 LCD 码可达到与一般线性码相同渐近界。
• 提供一种从任意线性码生成 LCD 码的一般构造方法。
• 解决关于所有线性码是否在某些有限域上等价于 LCD 码的开放问题。
• 将 LCD 码理论扩展至非二元及酉设置，并实现参数的完整覆盖。

提出的方法

• 通过线性变换 $L$ 从码 $\mathcal{C}$ 到 $\mathbb{F}_q^t$ 构造 LCD 码的一般方法，形成 $\mathcal{C}_L = \{ (\mathbf{c}, L(\mathbf{c})) \mid \mathbf{c} \in \mathcal{C} \}$。
• 利用扭量维数 $h_E(\mathcal{C})$ 以及对 $\text{Rank}(L)$ 和 $L$ 的满射性条件，判断 $\mathcal{C}_L$ 是否为 LCD 码。
• 对码 $\mathcal{C}_L$ 的生成矩阵 $G$ 的格拉姆矩阵 $GG^T$ 进行矩阵分析，证明若 $\text{Rank}(L) < h_E(\mathcal{C})$，则 $\det(GG^T) = 0$，从而表明其非 LCD 状态。
• 证明若 $\mathcal{C} = \text{Ker}(L) + \text{Hull}_E(\mathcal{C})$ 且 $L$ 是满射且 $\text{Rank}(L) = h_E(\mathcal{C})$，则 $\mathcal{C}_L$ 是一个欧几里得 LCD 码。
• 通过类似构造与对偶性质，将结果扩展至 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的酉 LCD 码。
• 利用如下事实：若线性形式 $L$ 的像张成扭量的补空间，则 $\mathcal{C}_{L}$ 是一个 LCD 码。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有 $\mathbb{F}_q$ 上的线性码（$q > 3$）是否都能被变换为等价的欧几里得 LCD 码？
• RQ2 所有 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的线性码（$q > 2$）是否都能被变换为等价的酉 LCD 码？
• RQ3 何种线性变换 $L$ 的条件可确保所构造的码 $\mathcal{C}_L$ 为 LCD 码？
• RQ4 欧几里得与酉 LCD 码是否可达到与一般线性码相同的渐近界？
• RQ5 扭量维数在确定扩展码 $\mathcal{C}_L$ 的 LCD 性质中起何作用？

主要发现

• 在 $\mathbb{F}_q$ 上，任意线性码（当 $q > 3$ 时）等价于一个欧几里得 LCD 码，意味着只要原码存在，所有 $[n,k,d]$ 参数下均存在此类 LCD 码。
• 在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上，任意线性码（当 $q > 2$ 时）等价于一个酉 LCD 码，确保所有可行参数下此类码均存在。
• 若 $L$ 是满射且 $\mathcal{C} = \text{Ker}(L) + \text{Hull}_E(\mathcal{C})$，则构造 $\mathcal{C}_L = \{ (\mathbf{c}, L(\mathbf{c})) \mid \mathbf{c} \in \mathcal{C} \}$ 可得到一个 LCD 码。
• 若 $\text{Rank}(L) < h_E(\mathcal{C})$，则 $\mathcal{C}_L$ 不是欧几里得 LCD 码，这提供了其非 LCD 状态的必要条件。
• 当 $q > 3$ 时，$q$-元欧几里得 LCD 码的渐近性能与一般 $q$-元线性码一致；当 $q > 2$ 时，$q^2$-元酉 LCD 码的渐近性能与 $q^2$-元线性码一致。
• 本文提供了一种构造性方法，可将线性码扩展为 LCD 码，同时保持最小距离不变，并将长度增加 $h_E(\mathcal{C})$。