[論文レビュー] Localization for the one-dimensional Anderson model via positivity and large deviations for the Lyapunov exponent

Valmir Bucaj, David Damanik+5 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 33被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、リャプノフ指数の正値性および確率的行列積の大偏差推定を用いて、1次元アンドリュー・モデルにおけるスペクトル的および力学的局在化の自己完結的証明を提示する。一般化固有関数が両方の空間無限大でリャプノフ挙動を示すことを確立し、マルチスケール解析に依存せずに指数的減衰および純粋点スペクトルを示す。

ABSTRACT

We provide a complete and self-contained proof of spectral and dynamical localization for the one-dimensional Anderson model, starting from the positivity of the Lyapunov exponent provided by Fürstenberg's theorem. That is, a Schrödinger operator in $\ell^2(\mathbb{Z})$ whose potential is given by independent identically distributed (i.i.d.) random variables almost surely has pure point spectrum with exponentially decaying eigenfunctions and its unitary group exhibits exponential off-diagonal decay, uniformly in time. This is achieved by way of a new result: for the Anderson model, one typically has Lyapunov behavior for all generalized eigenfunctions. We also explain how to obtain analogous statements for extended CMV matrices whose Verblunsky coefficients are i.i.d., as well as for half-line analogs of these models.

研究の動機と目的

• 1次元アンドリュー・モデルにおけるスペクトル的および力学的局在化の完全で自己完結的な証明を提供すること。
• すべての一般化固有関数が両方の空間無限大でリャプノフ挙動を示すことを確立し、指数的減衰を保証すること。
• マルチスケール解析（MSA）の必要性を回避するため、確率的行列積に関する基礎的結果から局在化を導出すること。
• 同様の手法を独立同一分布のヴェルブリンスキー係数を有する拡張型CMV行列およびその半直線類似物へと拡張すること。
• 新しい大偏差技術を用いて、固有関数およびグリーン関数の定量的指数的減衰推定を導出すること。

提案手法

• 全てのエネルギーEに対してリャプノフ指数の正値性を確立するために、F"urstenbergの定理を適用する。
• 解の1次元部分空間における指数的減衰／増大を特徴付けるために、Oseledetsの乗法的エルゴード定理を適用する。
• 新規結果として、アンドリュー・モデルの一般化固有関数がほとんど確実に両方の±∞でリャプノフ挙動を示すことを導入する。
• i.i.d. 確率的行列積のための大偏差推定（LDT）を用いて、転送行列のノルムを制御する。
• 転送行列技術およびグリーン関数推定を用いて、時間発展演算子の指数的非対角成分減衰を導出する。
• Gesztesy–Zinchenkoの転送行列およびSchnolの定理の適切な類似物を用いて、CMV行列へと手法を適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元アンドリュー・モデルにおけるスペクトル的局在化は、マルチスケール解析に依存せずに証明可能か？
• RQ2 アンドリュー・モデルの一般化固有関数は、ほとんど確実に両方の±∞でリャプノフ挙動を示すか？
• RQ3 同様の手法を独立同一分布のヴェルブリンスキー係数を有する拡張型CMV行列へと拡張可能か？
• RQ4 転送行列のノルムを制御し、指数的減衰を保証するために必要な大偏差推定は何か？
• RQ5 リャプノフ挙動から、固有関数およびグリーン関数の定量的指数的減衰をどのように導出できるか？

主な発見

• ほとんどすべてのωに対して、アンドリュー・モデルのすべての一般化固有関数は、両方の±∞で、リャプノフ指数L(E)に等しいレートで指数的減衰を示す。
• 一般化固有関数が完全なリャプノフ挙動を示すことから、Hωのスペクトルは純粋点スペクトルであり、指数的減衰固有関数を有する。
• 時間に一様に、ユニタリ群e^{-itHω}の指数的非対角成分減衰が確立され、これにより力学的局在化が示される。
• マルチスケール解析を回避し、リャプノフ指数の正値性および確率的行列積の大偏差推定に依存する。
• 結果は、独立同一分布のヴェルブリンスキー係数を有する拡張型CMV行列へと拡張可能であり、一般化固有関数も±∞で指数的減衰を示す。
• 領域を制限し、グリーン関数および転送行列の議論を適切に適応することで、半直線類似物の結果が証明される。