[論文レビュー] Logarithmic law of large random correlation matrix

Nestor Parolya, Johannes Heiny+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2021

Random Matrices and Applications参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、高次元で正規分布でないデータの標本相関行列の対数行列式について、中心極限定理（CLT）を確立し、四次モーメントが存在しない場合を含む一般の条件下で漸近正規性を示している。主な貢献は、重い尾を持つ分布に対しても有効である、高次元の無相関性を検定するための重要な検定統計量を提供することにある。

ABSTRACT

Consider a random vector $\mathbf{y}=\mathbf{\Sigma}^{1/2}\mathbf{x}$, where the $p$ elements of the vector $\mathbf{x}$ are i.i.d. real-valued random variables with zero mean and finite fourth moment, and $\mathbf{\Sigma}^{1/2}$ is a deterministic $p imes p$ matrix such that the spectral norm of the population correlation matrix $\mathbf{R}$ of $\mathbf{y}$ is uniformly bounded. In this paper, we find that the log determinant of the sample correlation matrix $\hat{\mathbf{R}}$ based on a sample of size $n$ from the distribution of $\mathbf{y}$ satisfies a CLT (central limit theorem) for $p/n o \gamma\in (0, 1]$ and $p\leq n$. Explicit formulas for the asymptotic mean and variance are provided. In case the mean of $\mathbf{y}$ is unknown, we show that after recentering by the empirical mean the obtained CLT holds with a shift in the asymptotic mean. This result is of independent interest in both large dimensional random matrix theory and high-dimensional statistical literature of large sample correlation matrices for non-normal data. At last, the obtained findings are applied for testing of uncorrelatedness of $p$ random variables. Surprisingly, in the null case $\mathbf{R}=\mathbf{I}$, the test statistic becomes completely pivotal and the extensive simulations show that the obtained CLT also holds if the moments of order four do not exist at all, which conjectures a promising and robust test statistic for heavy-tailed high-dimensional data.

研究の動機と目的

• 標本相関行列の対数行列式に関する中心極限定理（CLT）を、$ p/n \to \gamma \in (0,1] $ かつ $ p \leq n $ である高次元設定において導出すること。
• 四次モーメントが有限である場合に限らない既存の対数行列式に関するCLTの結果を、四次モーメントが存在しない非正規データへと拡張すること。
• 高次元で、おそらく重い尾を持つデータにおける $ p $ 個の確率変数間の無相関性を検定するためのロバストで重要な検定統計量を開発すること。
• 未知の平均の推定が対数行列式の漸近的分布に与える影響を調査し、補正されたCLTを提供すること。
• 導出されたCLTが高次元の無相関性に関する仮説検定において実用的にどのように有効であるかを示すこと。

提案手法

• 母集団相関行列 $ \mathbf{R} $ のスペクトルノルムが一様に有界であるという仮定の下で、標本相関行列 $ \hat{\mathbf{R}} $ の対数行列式の漸近的平均と分散を導出すること。
• 大次元ランダム行列理論の道具を用いて、$ p, n \to \infty $ かつ $ p/n \to \gamma \in (0,1] $ の下で $ \log \det \hat{\mathbf{R}} $ の極限挙動を分析すること。
• データの再中心化によって平均の推定効果を補正し、未知の平均のもとでもCLTが成り立つように修正された漸近的平均を導出すること。
• 明示的な漸近的平均と分散の公式を用いて、帰無仮説 $ \mathbf{R} = \mathbf{I} $ のための検定統計量を構築すること。
• 帰無仮説のもとで、検定統計量が完全に重要な性質を持つことが示され、母集団分布の有限第二モーメントを超える性質に依存しないこと。
• 四次モーメントが存在しない場合でさえもCLTのロバスト性を広範なシミュレーションによって検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標本相関行列の対数行列式は、高次元の非正規設定でも中心極限定理を満たすか？
• RQ2 未知の平均が存在する場合、標本相関行列の対数行列式の漸近的分布にどのような影響を与えるか？
• RQ3 標本相関行列の対数行列式に基づいて、高次元の無相関性を検定するための重要な検定統計量を構築できるか？
• RQ4 四次モーメントが存在しない重い尾を持つ分布に対しても、導出されたCLTは有効に保たれるか？
• RQ5 一般のモーメント条件のもとで、$ \log \det \hat{\mathbf{R}} $ の明示的な漸近的平均と分散は何か？

主な発見

• 母集団相関行列 $ \mathbf{R} $ のスペクトルノルムが一様に有界であるという仮定のもとで、$ p/n \to \gamma \in (0,1] $ かつ $ p \leq n $ の下で、標本相関行列 $ \hat{\mathbf{R}} $ の対数行列式は中心極限定理を満たす。
• 対数行列式 $ \log \det \hat{\mathbf{R}} $ の漸近的平均と分散について、母集団相関構造と標本サイズに依存する明示的な公式が導出された。
• 確率変数 $ \mathbf{y} $ の平均が未知の場合、再中心化によってCLTは依然成り立つが、推定誤差のため漸近的平均がずれる。
• 帰無仮説 $ \mathbf{R} = \mathbf{I} $ の下で、$ \log \det \hat{\mathbf{R}} $ に基づく検定統計量は完全に重要な性質を持つ。これは母集団分布に依存せず、有限第二モーメントを超える性質に依存しない。
• 広範なシミュレーションにより、データの四次モーメントが存在しない場合でもCLTが成り立つことが確認され、重い尾を持つ分布に対してもロバストであることが示された。
• 得られた検定統計量は、非正規で重い尾を持つデータにおける高次元の無相関性の検定に対して、ロバストで重要な手法を提供する。