[論文レビュー] M-strings in thermodynamic limit: Seiberg-Witten geometry

Babak Haghighat, Wenbin Yan|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、6次元超共形場理論におけるMストリングの分配関数の熱力学的極限から、5次元 $\upsilon=1^*$ $SU(2)$ ゲージ理論のSeiberg-Witten幾何を導出する。BPS分配関数を大N極限における行列模型に写像することで、著者らはスペクトル曲線を抽出し、既知のSeiberg-Witten曲線と一致させた。さらに、theta関数の経路積分を用いて、周期 $\varphi$ と $\varphi_D$ を明示的に計算し、正しい微分形式およびmoduli依存性の出現を確認した。

ABSTRACT

We initiate the study of M-strings in the thermodynamic limit. In this limit the BPS partition function of M5 branes localizes on configurations with a large number of strings which leads to a reformulation of the partition function in terms of a matrix model. We solve this matrix model and obtain its spectral curve which can be interpreted as the Seiberg-Witten curve associated to the compactified M5 brane theory.

研究の動機と目的

• 6次元超共形場理論におけるMストリング配置の熱力学的極限において、Seiberg-Witten幾何がどのように出現するかを理解すること。
• M5-braneに付随する大規模なMストリング数を持つBPS分配関数を行列模型に再定式化すること。
• この行列模型のスペクトル曲線を導出し、 compactified 5次元 $\mathcal{N}=1^*$ $SU(2)$ ゲージ理論のSeiberg-Witten曲線として同定すること。
• 鞍点方程式およびresolvent構造から、正確なSeiberg-Witten微分形式および周期 $\varphi$ と $\varphi_D$ を計算すること。

提案手法

• MストリングのBPS分配関数は、ヤング図形の和として表現され、各項はヤコビtheta関数を含む楕円的指標によって重み付けられている。
• 大$N$ストリングの熱力学的極限において、ヤング図形の和の鞍点近似を経て、分配関数が行列模型に写像される。
• 行列模型のresolventは、$\pm m$ に極を持つメラモーフィック関数として構成され、ファンダメンタルハイパーマニフェストを持つ$U(1)$ゲージ理論への双対性によってその構造が規定される。
• スペクトル曲線は $y^2 = c\theta_1(z)^2 - \theta_1(z-m)\theta_1(z+m)$ として導出され、ここで $c = \cosh^2(\sqrt{u})$ は、質量ゼロ極限における既知の $\mathcal{N}=2^*$理論への一致から固定される。
• 鞍点方程式からSeiberg-Witten微分が抽出され、トーラスのA-およびB-サイクルに沿った経路積分によって周期 $\varphi$ と $\varphi_D$ が計算される。
• 最終的な微分形式は、$m \to 0$ 極限において標準的な $\mathcal{N}=2^*$ Seiberg-Witten解と一致することを確認することで検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次元 $\mathcal{N}=1^*$ $SU(2)$ ゲージ理論のSeiberg-Witten幾何は、6次元超共形場理論におけるMストリング分配関数の熱力学的極限からどのように出現するか？
• RQ2 大N極限におけるMストリングBPS分配関数から導かれる行列模型のスペクトル曲線は何か？
• RQ3 鞍点方程式およびresolvent構造から、Seiberg-Witten周期 $\varphi$ と $\varphi_D$ はどのように導かれるか？
• RQ4 Mストリング系の熱力学的極限から、既知の $\mathcal{N}=2^*$理論のSeiberg-Witten微分形式は回復可能か？
• RQ5 theta関数およびモジュラー性の性質は、ストリング分配関数から幾何を再構成する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 行列模型のスペクトル曲線は $y^2 = \cosh^2(\sqrt{u})\theta_1(z)^2 - \theta_1(z-m)\theta_1(z+m)$ として特定され、5次元 $\mathcal{N}=1^*$ $SU(2)$ 理論のSeiberg-Witten曲線と一致する。
• 鞍点方程式からSeiberg-Witten微分が導出され、周期 $\varphi$ は $\frac{i}{2\pi^2}\oint_A \ln\left(\sqrt{H(z)} + \sqrt{H(z)-1}\right)dz$ として $\mathbb{Z}$ を法として与えられる。
• $\varphi$ が複素化されたクーロン分岐パラメータ $\varphi = -2\pi i\phi$ に比例することが示され、ここで $\phi$ はストリング分配関数の $e^{2\pi i\phi N}$ 要素から生じる。
• 質量ゼロ極限 $m \to 0$ において、微分形式は既知の $\mathcal{N}=2^*$解と一致し、導出の整合性が確認された。
• 関数 $c(u) = \cosh^2(\sqrt{u})$ は、周期の $u$ 依存性を標準的な $\mathcal{N}=2^*$結果と一致させることで固定され、$\oint_A dz = 2\pi$ および $\oint_B dz = 2\pi\tau$ が成り立つ。
• $u$ が大きい極限では、Seiberg-Witten幾何における分岐カットが消滅し、高質量自由度の分離と整合的である。