[論文レビュー] 6d $\mathcal{N}{=}(1,0)$ theories on $S^1/T^2$ and class S theories: part II

Kantaro Ohmori, Hiroyuki Shimizu+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 48被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、6次元 $\mathcal{N}=(1,0)$ 理論の $T^2$ compactificationを研究し、$\mathcal{N}=(2,0)$ 理論へとヒッグス化可能な理論に注目する。5次元の $S^1$ compactificationを通じて得られる4次元 $\mathcal{N}=2$ 理論を分析することにより、赤外自由なゲージ multiplet と conformal ゲージ multiplet によって結合される2つの超共形物質セクターからなる一般構造を特定。この構造には明示的な $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 対称性と完全なファーミオン対称性が備わる。主な結果として、F理論の異常制約を場の理論的手段で導出し、$\mathfrak{su}(2)+4\text{ フレーバー}$ と $\mathfrak{so}(8)$ 対称性を持つような特定の6次元物質内容が除外されることを示す。

ABSTRACT

We study the $T^2$ compactification of a class of 6d $\mathcal{N}{=}(1,0)$ theories that is Higgsable to $\mathcal{N}{=}(2,0)$ theories. We show that the resulting 4d $\mathcal{N}{=}2$ theory at the origin of the Coulomb branch and the parameter space is generically given by two superconformal matter sectors coupled by an infrared-free gauge multiplet and another conformal gauge multiplet. Our analysis utilizes the 5d theories obtained by putting the same class of 6d theories on $S^1$. Our class includes, among others, the 6d theories describing multiple M5 branes on an ALE singularity, and we analyze them in detail. The resulting 4d theory has manifestly both the $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ and the full flavor symmetry. We also discuss in detail the special cases of 6d theories where the infrared-free gauge multiplet is absent. In an appendix, we give a field-theoretical argument for an F-theoretic constraint that forbids a particular 6d anomaly-free matter content, as an application of our analysis.

研究の動機と目的

• 6次元 $\mathcal{N}=(1,0)$ 理論の $T^2$ compactification が $\mathcal{N}=(2,0)$ 理論にヒッグス化可能である場合の理解を深めること。
• クーロン分岐およびパrameter分岐の原点における4次元 $\mathcal{N}=2$ 理論の構造を特定すること。
• F理論的異常制約を場の理論的手段で導出し、特定の6次元物質内容を禁止すること。
• 赤外自由ゲージ multiplet が存在しない特殊な場合を分析し、ファーミオン対称性および双対性対称性の役割を明確にすること。

提案手法

• 6次元 $\mathcal{N}=(1,0)$ 理論の $S^1$ compactification によって得られる5次元理論を、中間段階としての鍵とする。
• 4次元理論を5次元理論の $T^2$ compactification を通じて分析し、クーロン分岐およびパrameter空間に注目する。
• クラスS理論の枠組みを用いて、得られる4次元 $\mathcal{N}=2$ 理論を超共形物質セクターのクイバーとして記述する。
• $\mathcal{T}\langle M\rangle$、$\mathcal{T}\{H\}$、$\mathcal{T}/H$ の表記法を用いて、compactification、ファーミオン対称性、ゲージ化を記述する。
• 異常多項式の技法と双対性の議論を用いて、許容可能な物質内容を制約する。
• 特定の6次元モデル、例えば $\mathrm{SU}(2)+4\text{ フレーバー}$ から生じる4次元および5次元理論を明示的に分析し、ファーミオン対称性の強化に起因する不整合を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元 $\mathcal{N}=(1,0)$ 理論が $\mathcal{N}=(2,0)$ 理論にヒッグス化可能である場合、$T^2$ compactification によって得られる4次元 $\mathcal{N}=2$ 理論の構造は何か？
• RQ2 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 双対性と完全なファーミオン対称性は、compactified 4次元理論においてどのように現れるか？
• RQ3 なぜ $\mathrm{SU}(2)+4\text{ フレーバー}$ と $\mathfrak{so}(8)$ 対称性を持つような特定の6次元物質内容がF理論では禁止されるのか？ これは場の理論のみで示せるか？
• RQ4 赤外自由ゲージ multiplet は4次元理論において果たす役割は何か？ その欠如が理論構造に与える影響は？
• RQ5 特定の6次元異常フリーな物質表現がF理論幾何学に依存せずに、場の理論的不整合として独立に導出可能か？

主な発見

• 6次元 $\mathcal{N}=(1,0)$ 理論が $\mathcal{N}=(2,0)$ 理論にヒッグス化可能な場合、$T^2$ compactification により2つの超共形物質セクターが赤外自由ゲージ multiplet と conformal ゲージ multiplet によって結合された4次元 $\mathcal{N}=2$ 理論が得られる。
• 得られる4次元理論は明示的な $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 双対性と完全なファーミオン対称性を示し、後者は元の6次元理論のグローバル対称性として実現される。
• $n$ 個のM5-brane が $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k$ 奇性上にある場合、4次元理論は $\mathfrak{su}(k)$ ゲージ群と双随伴ヒッグス多重項を有するクイバーとして記述される。
• 場の理論的議論により、$\mathrm{SU}(2)+4\text{ フレーバー}$ と $\mathfrak{so}(8)$ 対称性を持つ6次元モデルが不整合であることを示す。ファーミオン対称性はテンソル分岐上では $\mathfrak{so}(8)$ への偶然的強化であるが、真の対称性は $\mathfrak{so}(7)$ であり、スピン表現に作用する。
• $S^1$ compactification によって得られる5次元理論は、4つのフレーバーを有する $\mathrm{SU}(2)$ 理論であり、強化された $\mathrm{SU}(2)_1 \times \mathrm{SU}(2)_2$ ファーミオン対称性の対角部分群がゲージ化され、$\mathrm{SO}(10)$ への強化を引き起こす。
• 不整合は、$\mathfrak{so}(8)$ のベクトル表現が $\mathfrak{so}(7)$ に埋め込めないことに起因する。一方、一般のテンソル分岐上での4次元クイバー記述は、$\mathrm{Weyl}(\mathrm{SU}(3))$ 対称性を要請するが、これは3つの同一の穴が存在しないことに矛盾する。