[论文解读] Martingale and Weak Solutions for a Stochastic Nonlocal Burgers Equation on Bounded Intervals

Guangying Lv, Jinqiao Duan|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过Galerkin逼近、Prokhorov定理和Skorokhod嵌入法，证明了在有界区间上随机非局部Burgers方程的鞅解与弱解的存在性。引入了一种新型加权非局部Sobolev空间以处理非局部Laplacian算子$(-\Delta)^{\alpha/2}$，克服了经典分数阶Sobolev空间在有界区域中不成立的局限性，且证明了对应确定性非局部Burgers方程在$L^2$-弱解框架下的存在性。

ABSTRACT

This work is about the existence of martingale solutions and weak solutions for a stochastic nonlocal Burgers equation on bounded intervals. The existence of a martingale solution is shown by using a Galerkin approximation, Prokhorov's theorem and Skorokhod's embedding theorem. The same Galerkin approximation also leads to the existence of weak solution for the corresponding deterministic nonlocal Burgers equation on a bounded domain.

研究动机与目标

• 在有界区间$D=(-1,1)$上，为带有非局部Laplacian算子$(-\Delta)^{\alpha/2}$的随机非局部Burgers方程建立鞅解的存在性。
• 提出一种新型加权非局部Sobolev空间，以克服在$\alpha > 1$时经典分数阶Sobolev嵌入与Hardy-Littlewood-Sobolev不等式在有界区域中失效的问题。
• 证明在相同有界区域上，对应确定性非局部Burgers方程在$L^2$-弱解框架下的存在性。
• 解决标准方法（如因子化法或能量估计）因非局部算子的非局部性以及对非线性对流项$uu_x$缺乏控制而失效的挑战。

提出的方法

• 在Hilbert空间的有限维子空间中采用Galerkin逼近法，构造随机非局部Burgers方程的近似解。
• 利用Prokhorov定理与Skorokhod嵌入定理，提取近似解分布的弱收敛子列，从而保证鞅解的存在性。
• 引入加权非局部Sobolev空间$W^{-\delta,2}_{\rho}(D)$，其中权函数$\rho(x) = \text{dist}(x,\partial D)^{\alpha/2}$，以处理非局部算子在边界附近的奇异性。
• 应用紧嵌入定理，证明近似解序列在$L^2(0,T;H)$中相对紧致，从而保证收敛至极限解。
• 在有限维框架下应用Itô公式与能量估计，控制近似解的增长并确保一致有界性。
• 建立确定性非局部Burgers方程的弱形式，并在Galerkin逼近中取极限，得到$L^\infty(0,T;L^2(D)) \cap L^2(0,T;V)$中的弱解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有界区间上为带有非局部Laplacian算子$(-\Delta)^{\alpha/2}$的随机非局部Burgers方程构造出鞅解？
• RQ2 如何定义一个合适的函数空间，以处理在经典分数阶Sobolev空间失效的有界区域中非局部算子$(-\Delta)^{\alpha/2}$？
• RQ3 确定性非局部Burgers方程在有界区间上是否在基于$L^2$的函数空间中存在弱解？
• RQ4 能否通过Galerkin逼近与概率紧致性方法，克服非局部扩散项对非线性对流项$uu_x$缺乏控制的问题？

主要发现

• 通过Galerkin逼近、Prokhorov定理与Skorokhod嵌入法，证明了在$D=(-1,1)$上随机非局部Burgers方程存在鞅解。
• 采用相同的Galerkin方法，证明了确定性非局部Burgers方程在$L^\infty(0,T;L^2(D)) \cap L^2(0,T;V)$中存在弱解。
• 提出一种新型加权非局部Sobolev空间$W^{-\delta,2}_{\rho}(D)$，该空间在$\alpha > 1$时对处理$(-\Delta)^{\alpha/2}$在边界附近的奇异性至关重要。
• Galerkin逼近序列在$L^2(0,T;V)$中一致有界，并在$L^2(0,T;H)$中相对紧致，从而保证收敛至弱解。
• 该方法成功克服了在$\alpha > 1$时一维有界区域中Hardy-Littlewood-Sobolev不等式与标准分数阶Sobolev嵌入失效的问题。
• 证明过程不依赖Cole-Hopf变换或因子化方法，因算子的非局部性与有界区域特性，这些方法不适用。