[論文レビュー] ${\mathbb Z}_p$-orbifold constructions

Toshiyuki Abe, Ching Hung Lam+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$p = 3,5,7,13$ に対して、リーク格子頂点 operator 代数 $V_\Lambda$ 上で位数 $p$ の固定点自由自己同型を用いた ${\mathbb Z}_p$-軌道型構成を用いて、ムーンシャイン頂点 operator 代数 $V^\natural$ を構成する。これらの軌道型構成が $V^\natural$ を与えることを証明し、${\mathbb Z}_p$-軌道型構成と ${\mathbb Z}_2$-軌道型構成を統一的な枠組みで扱い、$V^\natural$ を2つの直交するイジングベクトルによって特徴付ける。

ABSTRACT

For $p = 3,5,7,13$, we consider a ${\mathbb Z}_p$-orbifold construction of the Moonshine vertex operator algebra $V^ atural$. We show that the vertex operator algebra obtained by the ${\mathbb Z}_p$-orbifold construction on the Leech lattice vertex operator algebra $V_\Lambda$ and a lift of a fixed-point-free isometry of order $p$ is isomorphic to the Moonshine vertex operator algebra $V^ atural$. We also describe the relationship between those ${\mathbb Z}_p$-orbifold constructions and the ${\mathbb Z}_2$-orbifold construction in a uniform manner. In Appendix, we give a characterization of the Moonshine vertex operator algebra $V^ atural$ by two mutually orthogonal Ising vectors.

研究の動機と目的

• 固定点自由な位数 $p$ の自己同型を用いた $V_\Lambda$ 上の ${\mathbb Z}_p$-軌道型構成が、$p = 3,5,7,13$ に対してムーンシャイン頂点 operator 代数 $V^\natural$ を与えることを確立すること。
• ${\mathbb Z}_p$-軌道型構成と ${\mathbb Z}_2$-軌道型構成の $V^\natural$ に対する関係を一貫した枠組みで統合すること。
• 付録で示されるように、2つの互いに直交するイジングベクトルを用いて $V^\natural$ を特徴付けること。

提案手法

• $V_\Lambda$ に対して、位数 $p$ の固定点自由自己同型を用いた ${\mathbb Z}_p$-軌道型構成を適用する。
• $\mathbb{Z}_p$-作用を頂点 operator 代数構造へと持ち上げ、軌道型構成を定義する。
• 表現論とモジュラー不変性を用いて、得られた頂点 operator 代数が $V^\natural$ に一致することを同定する。
• ${\mathbb Z}_p$-軌道型構成と標準的な ${\mathbb Z}_2$-軌道型構成を、共有される構造と対称性を通じて比較する。
• 付録で、2つの互いに直交するイジングベクトルを用いて $V^\natural$ を特徴付けることで、構造的不変量を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定点自由な位数 $p$ の自己同型を用いた $V_\Lambda$ 上の ${\mathbb Z}_p$-軌道型構成が、$p = 3,5,7,13$ に対してムーンシャイン頂点 operator 代数 $V^\natural$ を与えるか。
• RQ2 ${\mathbb Z}_p$-軌道型構成と ${\mathbb Z}_2$-軌道型構成の $V^\natural$ に対する関係を、統一的な枠組みでどのように結びつけることができるか。
• RQ3 $V^\natural$ は、2つの互いに直交するイジングベクトルの存在によって一意に特徴付けられるか。

主な発見

• ${\mathbb Z}_p$-軌道型構成が、固定点自由な位数 $p$ の自己同型を用いて $V_\Lambda$ 上に施されると、$p = 3,5,7,13$ に対して頂点 operator 代数として $V^\natural$ に同型なものが得られる。
• この構成は、$V^\natural$ を構築する ${\mathbb Z}_p$-軌道型構成と ${\mathbb Z}_2$-軌道型構成の両方を統一的に記述する。
• ムーンシャイン頂点 operator 代数 $V^\natural$ は、付録で示されるように、2つの互いに直交するイジングベクトルの存在によって特徴付けられる。
• 軌道型構成は、必要なモジュラー性および表現論的構造を保ち、結果として $V^\natural$ に同定可能である。