[論文レビュー] Measure complexity and Möbius disjointness

Wen Huang, Zhiren Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、サルナックのモービウス非共鳴予想を検証するための新しい基準として、測度複雑性を導入する。任意の位相的力学系において、すべての不変測度が多項式より小さい測度複雑性を持つ場合、その系は予想を満たすことを証明する。主な結果として、離散スペクトルを持つ系、2次元トーラス上の滑らかなスキー生成系、テイム系、および特定のスキー生成写像系が、すべて多項式より小さい測度複雑性のおかげで予想を満たすことが示された。

ABSTRACT

In this paper, the notion of measure complexity is introduced for a topological dynamical system and it is shown that Sarnak's Möbius disjointness conjecture holds for any system for which every invariant Borel probability measure has sub-polynomial measure complexity. Moreover, it is proved that the following classes of topological dynamical systems $(X,T)$ meet this condition and hence satisfy Sarnak's conjecture: (1) Each invariant Borel probability measure of $T$ has discrete spectrum. (2) $T$ is a homotopically trivial $C^\infty$ skew product system on $\mathbb{T}^2$ over an irrational rotation of the circle. Combining this with the previous results it implies that the Möbius disjointness conjecture holds for any $C^\infty$ skew product system on $\mathbb{T}^2$. (3) $T$ is a continuous skew product map of the form $(ag,y+h(g))$ on $G imes \mathbb{T}^1$ over a minimal rotation of the compact metric abelian group $G$ and $T$ preserves a measurable section. (4) $T$ is a tame system.

研究の動機と目的

• サルナックのモービウス非共鳴予想を検証するための新しい基準—多項式より小さい測度複雑性—を確立すること。
• 離散スペクトルを持つ系または滑らかなスキー生成系がモービウス非共鳴予想を満たすかどうかという未解決の問題を解明すること。
• ニル系や離散スペクトルを持つ系に関する先行研究を、より広範な位相的力学系のクラスへと拡張すること。
• $ C^{\infty} $ スキー生成系が $ \mathbb{T}^2 $ 上でモービウス非共鳴予想を満たすことを証明すること。
• 新しい複雑性理論的枠組みを通じて、決定的系列とモービウス関数に関する既存の結果を統合的かつ一般化すること。

提案手法

• 与えられた不変測度 $ \rho $ に対して、測度 $ 1-\epsilon $ の集合を被覆するために必要な $ \overline{d}_n $-球の半径 $ \epsilon $ の最小個数を用いて、測度複雑性を定義する。
• 測度複雑性が関数 $ U(n) $ より弱いかつ、すべての $ \tau > 0 $ に対して $ n^\tau $ より弱いかつ、多項式より小さい測度複雑性を定義する。
• 測度の経験的分布が列 $ N_i $ 沿いでの弱*収束を用いて、多項式より小さい測度複雑性がモービウス非共鳴を示すことを証明する。
• 可測な同相写像と回転不変性を用いて、モデル系からの複雑性推定を元の系へと転送する。特にスキー生成構成において有効である。
• 関数解析学の結果（$ L^2 $ における軌道のコンパクト性など）を用いて、$ K(\mathbb{Z}) $-系に属する関数が離散スペクトルを持つことを示す。
• 測度複雑性が適切な距離の選び方に依存しないことを利用し、基準の頑健性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての不変ボレル確率測度が多項式より小さい測度複雑性を持つ位相的力学系において、モービウス非共鳴予想は成立するか？
• RQ2 $ \mathbb{T}^2 $ 上の $ C^\infty $ スキー生成系、特にホモトピー的に自明な系に対しても、予想は拡張可能か？
• RQ3 離散スペクトルを持つ系やテイム系は、その測度複雑性の性質のおかげでモービウス非共鳴予想を満たすか？
• RQ4 測度複雑性基準は可測な同相写像に関して不変であり、同型な系間で複雑性の上限を転送できるか？
• RQ5 この新しい複雑性フレームワークを用いて、ニル系や離散スペクトル系を超える、モービウス非共鳴を満たす系のクラスを拡大可能か？

主な発見

• すべての不変ボレル確率測度が多項式より小さい測度複雑性を持つ任意の位相的力学系において、モービウス非共鳴予想は成立する。
• 離散スペクトルを持つすべての系は、測度複雑性が多項式より小さいため、予想を満たす。
• $ \mathbb{T}^2 $ 上のすべての $ C^\infty $ スキー生成系は、モービウス非共鳴予想を満たす。特に、無理数回転上のホモトピー的に自明な系を含む。
• コンパクトアーベル群 $ G $ 上の最小回転の上に、$ G \times \mathbb{T}^1 $ 上の連続的スキー生成写像で、可測な断面を保存する系は、多項式より小さい測度複雑性のおかげで予想を満たす。
• テイム系は、その不変測度が多項式より小さい測度複雑性を持つため、モービウス非共鳴予想を満たす。
• 測度複雑性基準は頑健である：適切な距離の選び方に依存せず、可測な同相写像のもとで保存されるため、同型な系間で複雑性の上限を転送可能である。