[論文レビュー] Microlocal Category

Dmitry Tamarkin|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、層の導来圏とホモトピー代数を用いて微局所的圏を構成し、オペラッドとトレースを介して量子化枠組みを確立する。層の圏にホモトピー的整合性を持つオペラッド（VCO）構造を導入し、微局所的圏が曲率をもつ$A_\infty$-圏構造を備えることを証明することで、ホモトピー同値とトレース構造への還元により、量子化問題を解決する。

ABSTRACT

Given a compact symplectic manifold whose symplectic form has integer periods, one associates to it a dg category based on the microlocal analysis according to Kashiwara-Schapira

研究の動機と目的

• 導来圏の層に値をとる微局所的圏を、ホモトピー的整合性を持つオペラッド構造を備えて構成すること。
• 整数周期をもつシンプレクティック多様体の量子化問題を、変形複体とトレース構造を用いて解くこと。
• ホモトピー同値と還元を介して、微局所的層理論と曲率をもつ$A_\infty$-圏との間の関係を確立すること。
• シンプレクティック球上の層の圏を、モジュール構造をもつ完全な$A_\infty$-圏へ一般化すること。
• オペラッド的および循環的構造を用いて、トレースを備えたモノイダル圏を定義し、シンプレクティック埋め込みの量子化を可能にすること。

提案手法

• 空間$X$上の層の導来圏およびその畳み込み積を用いて、微局所的圏$\operatorname{sh}_q(X)$を定義する。
• 全オペラッドの準自由な解体$\mathcal{O}$を構成し、$\mathbb{A}^V$上にホモトピー的整合性を持つオペラッド（VCO）構造を定義する。
• $\mathbf{R}_q$から$\mathbf{R}_0$への還元関手$\mathbf{red}$を適用し、トレース構造を導出する。
• ホモトピー同値のズイ・ザッグ$\mathbb{A} \xleftarrow{\sim} \mathbb{A}' \to \mathcal{O}$を用いて、量子化写像を実現する。
• $\mathbf{a} \otimes \mathbf{MC}$作用を用いて、$\mathbf{R}_q$に値をとる$A_\infty$-代数と曲率をもつ$\mathcal{M}_M$の圏を、ペア$(\mathcal{B}, M)$上で定義する。
• $c_1$-局所化と$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$-不変性を用いて、圏内のモノイダル構造とトレースを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、層論的およびホモトピー代数的手法を用いてシンプレクティック幾何を符号化する微局所的圏を構築できるか？
• RQ2 $c_1$-局所化と$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$-不変性は、シンプレクティック多様体の量子化を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 量子的構造をモデル化するために、層の圏にホモトピー的整合性を持つオペラッド（VCO）構造を実現できるか？
• RQ4 圏上のトレース構造は、ホッフハルド複体および循環的オペラッドとどのように関係するか？
• RQ5 微局所的圏上の正確な$A_\infty$-圏的構造は何か？ そして、曲率およびモジュール作用とどのように整合するか？

主な発見

• 微局所的圏$\operatorname{sh}_q(X)$は、代数構造に曲率をもつ$\mathbf{R}_q$に値をとる$A_\infty$-圏として構成される。
• ホモトピー的整合性を持つオペラッド（VCO）構造が$\mathbb{A}^V$上に実現され、ホモトピー同値を介して、還元$\mathbf{red}\mathbb{A}^V \to \mathbf{red}\mathcal{V}$が剛性条件を満たす。
• 量子化問題は、ホモトピー同値のズイ・ザッグ$\mathbb{A} \xleftarrow{\sim} \mathbb{A}' \to \mathcal{O}$を用いて解決され、トレース写像$\mathbf{red}\mathbb{A} \to \mathbf{red}\mathcal{O}$への還元に帰着される。
• $A_\infty$-代数と曲率をもつ$\mathcal{M}_M$の圏は、$M$が$({\mathbf{D}\bigoplus})\mathbf{U}(\mathbb{F}_R)$内のモジュールであるペア$(\mathcal{B}, M)$上で定義され、$\mathbf{a} \otimes \mathbf{MC}$作用は既存の$\mathbb{A}'$作用と整合する。
• $c_1$-作用と$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$-不変性は、圏$\mathbf{U}(F)$およびその循環的拡張$\mathbf{U}^{\mathbf{cyc}}(\mathcal{O})$を介して、トレースを備えたモノイダル構造を定義するために用いられる。
• $\mathbb{B}_{\mathcal{T}}$はストレートニングおよび準可縮性を用いて構成され、トレースおよびモジュール構造を備えた完全な微局所的圏が得られる。