[論文レビュー] The "nonlinear pullback" of functions and a formal category extending the category of supermanifolds

Theodore Voronov|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、標準的な引き戻しを一般化する非線形な引き戻し構成を、正準関係と生成関数を用いて超多様体上の関数に対して導入する。これは、超多様体の圏を拡張する形式的圏を定義し、マスター・ハミルトニアンが正準関係によって関連付けられる場合、ホモトピー・ショウテンおよびポアソン多様体上の関数代数にL∞-準同型を誘導することを示す。

ABSTRACT

We introduce mappings between function spaces on smooth (super)manifolds, which are generally nonlinear and which generalize the pullbacks with respect to smooth maps. The construction uses canonical relations and generating functions. The formal category arising here is a "formal thickening" of the usual category of supermanifolds. (It is very close to the category of symplectic micromanifolds and their micromorphisms considered recently by A. Weinstein and A. Cattaneo -- B. Dherin -- A. Weinstein.) We also give a parallel construction for odd functions, based on odd symplectic geometry. As an application, we show that such a mapping gives an L∞-morphism of the algebras of functions on homotopy Schouten manifolds if the master Hamiltonians are related by a canonical relation. There is a parallel statement for homotopy Poisson manifolds. We discuss possible applications to L∞-bialgebroids.

研究の動機と目的

• 超多様体上の関数の標準的引き戻しを、正準関係を用いた非線形構成へ一般化すること。
• 超多様体の圏を「厚くする」形式的圏を定義し、その構造を拡張すること。
• 奇数次元関数を奇数シンプレクティック幾何学を用いて拡張すること。
• このような非線形引き戻しがホモトピー・ショウテン多様体およびポアソン多様体の関数代数にL∞-準同型を誘導する条件を確立すること。
• 提案された形式的枠組みを通じてL∞-バイアラジエイドへの応用の可能性を検討すること。

提案手法

• 滑らかな（超）多様体上の関数空間間の非線形写像を、正準関係と生成関数を用いて定義すること。
• 通常の超多様体の圏に非線形引き戻しを組み込むことで、拡張された形式的圏を構築すること。
• 偶数の場合と同様に、奇数次元関数への適用のため、奇数シンプレクティック幾何学を用いて枠組みを適応させること。
• 非線形引き戻しが関数代数間にL∞-準同型を誘導する条件を同定すること。
• マスター・ハミルトニアンが正準関係によって関連付けられるというキーメカニズムを用い、L∞-準同型構造を保証すること。
• ホモトピー・ショウテン多様体およびホモトピー・ポアソン多様体の両方を平行に取り扱い、広範な適用可能性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超多様体上の関数の標準的引き戻しは、どのように正準関係を用いた非線形構成へ一般化できるか？
• RQ2 非線形引き戻しが体系的に組み込まれたとき、どのような圏的構造が生じるか？
• RQ3 正準関係と生成関数は、どのようにしてこのような非線形写像の構成を可能にするか？
• RQ4 非線形引き戻しがホモトピー・ショウテン多様体上の関数代数にL∞-準同型を誘導する条件は何か？
• RQ5 奇数次元関数を奇数シンプレクティック幾何学を用いて、この枠組みにどのように拡張できるか？

主な発見

• 非線形引き戻し構成は、正準関係と生成関数を用いることで、関数空間への写像の非線形性を可能にする。これは、標準的引き戻しを一般化するものである。
• 得られる形式的圏は、超多様体の圏の「厚み」を帯びたものであり、シンプレクティック・マイクロマニフォールドおよびマイクロモーフィズムと密接に関係している。
• ホモトピー・ショウテン多様体において、マスター・ハミルトニアンが正準関係によって関連付けられる場合、非線形引き戻しはそれらの関数代数にL∞-準同型を誘導する。
• ホモトピー・ポアソン多様体に対しても同様の結果が成り立ち、この枠組みが両方のホモトピー構造に適用可能であることが示された。
• 奇数次元関数への拡張は、奇数シンプレクティック幾何学を用いて自然に可能であり、偶数の場合と整合的である。
• この枠組みは、関数代数上の誘導された準同型を通じて、L∞-バイアラジエイドを研究する基盤を提供する。