[论文解读] Minimum cycle and homology bases of surface embedded graphs

Glencora Borradaile, Erin Wolf Chambers+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文提出了在亏格为 $g$ 的曲面上嵌入的图中计算最小圈基和同调基的确定性算法。对于最小圈基，时间复杂度为 $O(n^{\omega} + 2^{2g}n^2 + m)$；对于最小同调基，时间复杂度为 $O((g+b)^3n\log n + m)$，优于以往针对一般图的算法，并利用了循环双重覆盖和曲面嵌入图中的多源最短路径技术。

ABSTRACT

We study the problems of finding a minimum cycle basis (a minimum weight set of cycles that form a basis for the cycle space) and a minimum homology basis (a minimum weight set of cycles that generates the $1$-dimensional ($\mathbb{Z}_2$)-homology classes) of an undirected graph embedded on a surface. The problems are closely related, because the minimum cycle basis of a graph contains its minimum homology basis, and the minimum homology basis of the $1$-skeleton of any graph is exactly its minimum cycle basis. For the minimum cycle basis problem, we give a deterministic $O(n^ω+2^{2g}n^2+m)$-time algorithm for graphs embedded on an orientable surface of genus $g$. The best known existing algorithms for surface embedded graphs are those for general graphs: an $O(m^ω)$ time Monte Carlo algorithm and a deterministic $O(nm^2/\log n + n^2 m)$ time algorithm. For the minimum homology basis problem, we give a deterministic $O((g+b)^3 n \log n + m)$-time algorithm for graphs embedded on an orientable or non-orientable surface of genus $g$ with $b$ boundary components, assuming shortest paths are unique, improving on existing algorithms for many values of $g$ and $n$. The assumption of unique shortest paths can be avoided with high probability using randomization or deterministically by increasing the running time of the homology basis algorithm by a factor of $O(\log n)$.

研究动机与目标

• 开发用于计算在可定向或不可定向曲面上嵌入的无向图中最小圈基与同调基的高效算法。
• 通过利用曲面拓扑结构，改进现有针对一般图的 $O(m^\omega)$ 和 $O(nm^2/\log n + n^2m)$ 时间复杂度算法。
• 在假设最短路径唯一的情况下，提供最小同调基问题的确定性算法，并通过随机化或确定性变体处理非唯一路径的情况。
• 将平面图中的技术推广至高亏格曲面，特别是通过使用循环双重覆盖和多源最短路径预言机。
• 建立最小圈基与同调基之间的联系，证明在曲面嵌入图中，最小圈基包含最小同调基。

提出的方法

• 针对一个 $\beta$-位支撑向量 $S$，构建图 $G$ 的循环双重覆盖 $G^2_S$，从而将同调类查询归约为最短路径问题。
• 使用 $G$ 中一组 $O(\beta)$ 条最短路径 $\Pi$，使得每个非零同调类的圈至少与 $\Pi$ 中的一条路径相交，从而确保覆盖所有同调类。
• 将 $\Pi$ 中的最短路径 $\sigma$ 提升至双重覆盖 $G^2_S$，并计算从顶点 $(s,0)$ 和 $(s,1)$ 到达的最短路径，以找到代表非平凡同调类的圈。
• 在沿提升路径 $\hat{\sigma}$ 剪开的曲面 $\Sigma^2_S$ 上应用多源最短路径预言机（引理 6.7），从而高效支持从边界顶点到其对应点的最短路径查询。
• 对于由支撑向量 $S$ 定义的每个同调类，通过在双重覆盖中计算最短路径，找到满足 $\langle S, [\gamma]_h \rangle = 1$ 的最小权重圈 $\gamma$。
• 对所有 $O\left(\beta\right)$ 个基向量 $S$ 进行迭代，使用上述过程构造最小权重同调基，总时间复杂度为 $O\left((g+b)^3n\log n + m\right)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过利用拓扑结构，使曲面嵌入图的最小圈基计算效率高于一般图算法？
• RQ2 在具有 $g$ 个亏格和 $b$ 个边界分量的曲面上嵌入的图中，计算最小同调基的计算复杂度是多少？
• RQ3 如何调整最短路径技术，以在曲面上计算特定同调类中的最小权重圈？
• RQ4 循环双重覆盖在将同调类查询归约为最短路径问题中起到什么作用？
• RQ5 是否可以去除最短路径唯一的假设，而不会显著增加运行时间？

主要发现

• 本文提出了一种确定性算法，时间复杂度为 $O(n^{\omega} + 2^{2g}n^2 + m)$，用于计算在可定向曲面（亏格为 $g$）上嵌入的图的最小圈基，优于一般图算法。
• 对于最小同调基问题，本文实现了 $O\left((g+b)^3n\log n + m\right)$ 的时间复杂度，对于许多 $g$ 和 $n$ 的取值，该复杂度快于现有算法。
• 该算法假设最短路径唯一；通过随机化或确定性方法，该假设可被移除，但运行时间仅增加 $O(\log n)$ 因子。
• 图的最小圈基包含其最小同调基；对于任意图的 1-骨架，最小同调基与最小圈基一致。
• 通过使用循环双重覆盖和多源最短路径预言机，可高效计算非平凡同调类中的最小权重圈。
• 双重覆盖 $\Sigma^2_S$ 的亏格有界于 $O(\beta)$，其中对于可定向曲面 $\beta = 2g - \max\{b-1, 0\}$，对于不可定向曲面 $\beta = g - \max\{b-1, 0\}$，从而确保了复杂度可控。