[論文レビュー] Mixed quiver algebras

Pere Ara, Miquel Brustenga|ArXiv.org|Sep 2, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、鎖の体と準順序の飽和頂点集合を持つクイバー上で構築された、経路代数、レヴィット代数、通常代数の混合クイバー代数を導入する。古典的レヴィット経路代数の一般化により、著者らは混合レヴィット代数および通常代数が、ヴァン・ネウマン正則性や準順序性といった重要な性質を継承することを確立し、それらのグローテンディークモノイドが基盤となるクイバーの標準モノイドと同型であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new class of $K$-algebras associated with quivers. Given any finite chain $\mathbf{K}_r: K=K_0\subseteq K_1\subseteq ... \subseteq K_r$ of fields and a chain $\mathbf{E}_r : H_0\subset H_1\subset ... \subset H_r=E^0$ of hereditary saturated subsets of the set of vertices $E^0$ of a quiver $E$, we build the mixed path algebra $P_{\mathbf{K}_r}(E,\mathbf{H}_r)$, the mixed Leavitt path algebra $L_{\mathbf{K}_r}(E,\mathbf{H}_r)$ and the mixed regular path algebra $Q_{\mathbf{K}_r}(E,\mathbf{H}_r)$ and we show that they share many properties with the unmixed species $P_K(E)$, $L_K(E)$ and $Q_K(E)$.

研究の動機と目的

• 古典的レヴィット経路代数を、鎖の体と準順序の飽和頂点集合を持つクイバー上で一般化する混合クイバー代数を導入すること。
• 経路代数、レヴィット代数、通常代数の構成を、異なる頂点に異なる体を割り当てる鎖の体と準順序部分集合を用いた混合設定に拡張すること。
• 混合代数が、ヴァン・ネウマン正則性や準順序性といった基本的構造的性質を、元の未混合ケースと同様に保持することを示すこと。
• 基盤となるクイバーの標準アーベルモノイドと、混合レヴィット代数および通常代数のグローテンディークモノイドとの間のモノイド同型を確立すること。
• クイバー構成を用いてヴァン・ネウマン正則環を実現する枠組みを提供し、環論における実現問題を前進させること。

提案手法

• 有限な体の鎖 $\mathbf{K}_r: K = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_r$ と、準順序の飽和部分集合の鎖 $\mathbf{H}_r: H_0 \subset H_1 \subset \cdots \subset H_r = E^0$ を定義する。
• 体の鎖に従って経路代数の直和極限として構成される混合経路代数 $P_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r)$ を定義し、それぞれの体に対応する冪等元と矢印を定義する。
• 混合レヴィット経路代数 $L_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r)$ を、出る矢印を持つ頂点に関連する写像の集合 $\Sigma_1$ における $P_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r)$ の普遍局所化として定義する。
• 混合通常経路代数 $Q_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r)$ を、$\Sigma$（有理級数条件）と $\Sigma_1$（レヴィット条件）の和集合における $P_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r)$ の普遍局所化として定義する。
• 普遍局所化とベルガムおよびディックスの結果を用いて、$Q_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r)$ がヴァン・ネウマン正則かつ準順序であることを証明する。
• 自然な写像の合成と単射性の議論により、$M(E) \cong \mathcal{V}(L_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r)) \cong \mathcal{V}(Q_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r))$ というモノイド同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クイバーの異なる頂点に異なる体を割り当てる設定において、レヴィット経路代数はどのように一般化できるか？
• RQ2 混合経路代数、レヴィット代数、通常代数は、それらの古典的対応物が持つ構造的性質（例えばヴァン・ネウマン正則性や準順序性）を保持するか？
• RQ3 基盤となるクイバーの標準アーベルモノイドと、混合レヴィット代数および通常代数のグローテンディークモノイドとの間に自然なモノイド同型が存在するか？
• RQ4 混合代数の構成は、クイバーのデータを用いてヴァン・ネウマン正則環を実現するのにも使用可能か？ これにより、実現問題が前進するか？
• RQ5 普遍局所化と伝達不変性は、混合設定において正則性と準順序性を保つために果たす役割は何か？

主な発見

• 混合通常経路代数 $Q_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r)$ は、普遍局所化 $(P_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r))((\Sigma \cup \Sigma_1)^{-1})$ に同型であり、これにより有理級数とレヴィット閉包の性質を継承することが保証される。
• 混合レヴィット経路代数 $L_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r)$ は、普遍局所化 $P_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r)\Sigma_1^{-1}$ として定義され、ヴァン・ネウマン正則かつ準順序であることが示されている。
• 混合通常代数 $Q_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r)$ は、準順序的かつヴァン・ネウマン正則である。これは、準順序環の普遍局所化に関するベルガム＝ディックスの結果によって保証される。
• グローテンディークモノイド $\mathcal{V}(L_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r))$ は、自然な写像の合成を通じて、クイバーの標準モノイド $M(E)$ と自然に同型である。この同型写像が示された。
• 同型 $M(E) \cong \mathcal{V}(Q_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r))$ は、自然な写像 $M(E) \to \mathcal{V}(Q_{\mathbf{K}_r}(E, \mathbf{H}_r))$ とその逆写像の合成により確立され、単射性と全射性が示された。
• この構成により、混合体構造を有するクイバーのデータを用いて、ヴァン・ネウマン正則環を実現する新しいクラスの環が得られ、環論における実現問題に貢献する。