[論文レビュー] Model-free Superhedging Duality

Matteo Burzoni, Marco Frittelli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、動的および準静的取引戦略を用いて、離散時間金融市場におけるモデルフリーのスーパーヘッジィング双対性を確立する。少なくとも1つの martingale 測度が正の確率を割り当てる集合 Ω∗ において、経路ごとのスーパーヘッジィングに必要な最小初期コストが、すべての有限サポートを持つ martingale 測度における期待ペイオフの上界に等しくなることを証明し、全経路空間 Ω においてスーパーヘッジィング可能であると要求された場合に生じる双対ギャップを解消する。

ABSTRACT

In a model free discrete time financial market, we prove the superhedging duality theorem, where trading is allowed with dynamic and semi-static strategies. We also show that the initial cost of the cheapest portfolio that dominates a contingent claim on every possible path $ω\in Ω$, might be strictly greater than the upper bound of the no-arbitrage prices. We therefore characterize the subset of trajectories on which this duality gap disappears and prove that it is an analytic set.

研究の動機と目的

• 特定の確率モデルを仮定せずに、離散時間市場におけるモデルフリーのスーパーヘッジィング双対定理を確立すること。
• スーパーヘッジィングコストがノーアービッジ上界に等しくなる正確な経路の集合 Ω∗ を同定すること。
• 双対ギャップ（最小スーパーヘッジィングコストが期待ペイオフの上界を上回る現象）が、経路空間全体 Ω においてスーパーヘッジィング可能であると要求された場合に生じるが、それが Ω∗ でのみスーパーヘッジィング可能であると制限された場合に消滅することを示すこと。
• Ω∗ を解析的集合として特徴づけ、それが双対ギャップを解消する役割を果たすことを証明すること。
• オプションを含む準静的戦略への双対性の拡張を行い、スーパーヘッジィング価格がオプション調整済み martingale 測度における期待値の上界に等しくなることを示すこと。

提案手法

• すべての確率測度に対して一様に成立する予測可能取引戦略 H を定義するために、普遍的フィルトレーション F = ∩P∈P (FS_t ∨ NP_t) を用いる。
• Ω∗ を、価格過程 S のすべての martingale 測度の集合 M に対して、最大の M-極性集合 N∗ の補集合として定義する。
• 解析的集合の理論を用いて、Ω∗ が解析的であることを証明し、モデル独立仮定下での双対性の有効性に不可欠であることを示す。
• オプション調整済み martingale 測度が正の質量を割り当てる経路の集合 ΩΦ を導入し、ΩΦ におけるスーパーヘッジィングが Ω∗ における双対性と同じ結果をもたらすことを証明する。
• 凸解析と分離定理（例：0 ∈ int(Γy)）を用いて、レプリケーティング戦略の存在を確立し、時間に関する帰納法を用いて双対性を証明する。
• 有限サポートを持つ martingale 測度のクラス Mf を用いて、双対性の本質的サポートを特徴づけ、最小限の仮定のもとで双対性が成立することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデルフリーな設定下で、最小スーパーヘッジィングコストがすべての martingale 測度における期待ペイオフの上界に等しくなる条件は何か？
• RQ2 なぜスーパーヘッジィングが全経路空間 Ω において経路ごとに要求された場合に双対ギャップが生じるのか、そしてどのようにしてこれを解消できるか？
• RQ3 双対ギャップが消滅する集合 Ω∗ の正確な数学的構造は何か、そしてなぜそれが双対性が成立する上で極めて重要なのか？
• RQ4 準静的オプション取引の導入が、スーパーヘッジィング双対性および関連する経路空間の特徴づけにどのように影響を与えるか？
• RQ5 株式の動的ポジションとオプションの静的ポジションを含む取引戦略において、スーパーヘッジィング双対性は保持されるか？

主な発見

• 全経路空間 Ω におけるスーパーヘッジィングコストは、supQ∈M EQ[g] を厳密に上回る場合があり、モデルフリーな設定下で双対ギャップが生じることを示している。
• 双対ギャップは、正確に Ω∗ = {ω ∈ Ω | ∃Q ∈ M かつ Q(ω) > 0} において消滅する。この集合は解析的集合であることが証明されている。
• Ω∗ における最小スーパーヘッジィングコストは supQ∈M EQ[g] に等しくなり、普遍的フィルトレーション下でモデルフリーのスーパーヘッジィング双対性が確立される。
• k 個のオプションを含む準静的戦略の場合、スーパーヘッジィング価格 πΦ(g) は supQ∈MΦ EQ[g] に等しくなる。ここで MΦ は、オプションをゼロ価格で評価する有限サポートを持つ martingale 測度の集合である。
• オプション調整済み martingale 測度が正の質量を割り当てる集合 ΩΦ は解析的であり、この集合でも双対性が成立する。
• 証明は、最大極性集合 N∗ が存在して一意的であり、その補集合 Ω∗ が双対性が有効となる最大の集合であるという事実に依拠している。